このような問題は言われなくても極値を答えなければならないのですか？

例題 103 凹凸とグラフ(2) *** 1 関数 y=- e の増減凹凸 変曲点を調べて, そのグラフをか /2 〈偶関数の定義〉 考え方 f(x)= =e-1 とすると、f(x)=f(x) YA f(x)=f(x) 解答 1 2 つまり,f(x)は偶関数 (グラフがy軸対称)ail である. 増減表は半分(x≧0 の部分)だけで十分である. (p.191 ⑥参照) 1 f(x)= e-1 とおくとf(x)=f(x)より, √2π f(x) は偶関数である. f'(x)=-2 1 xe 1 2 =(e² - x²e ²)=- f'(x) =0 とすると, √2π =(x+1)(x-1)e- x=0 f" (x)=-√2π 定義域は実数 関数の特徴 f" (x) = 0 とすると, x=±1 したがって,x≧0 での増減や凹凸は次のようになる 1 x f'(x) (0) - + 偶関数だから 凹凸は けで考える. Af"(x) (-) f(x) √2π 0 1 1 √2ле 極大値 (x=0) √2π 変曲点の座標は、(1.2me) (-1. √2ne limf(x)=0 より, 漸近線は, 直線 y=0 (x軸) x→∞ x≦0 の部分とx≧0 の部分は y 軸対称より, グラフは右の図のようになる. Focus 偶関数,奇関数のグラフ 増減表は半分に 注 x=0 のとき 極大値- √2π に注意 YA √2 例題103の曲線を正規分布曲線という. 偏差値などはこの関数をもとに求め できる.

赤の線になる理由を教えてください

例題 10 関数とその逆関数のグラフの共有点 思考プロセス f(x) = √x+1 とするとき, y=f(x)とy=f(x)のグラフの共 のx座標を求めよ。 « ReAction y=f(x) の逆関数は、値域を求めてxについて解け 条件の言い換え まず, f(x)と 例題9 y=f(x) とy=f-1 (x) の グラフの共有点のx座標 方程式 f(x) =f-1(x) の 実数解 ← xの値の範囲を 求める。 (別解) 見方を変える y=f(x) とy=f-l(x) のグラフは直線 y=x に関して対称 直線 y=x上にある共有点はf(x)=xの実数解 y=√x+1 ... ① の定義域はx≧-1 まず逆関数f(x)を める。 であり, 値域は y≥ 0 6 y=f(x) ①の両辺を2乗すると y2=x+1 9 xについて解くと x=y2-18- 1 -1 0 x xとyを入れかえると, ① の逆関数 は y=f-l(x)=x-1 -1 y=f¹(x) ② その定義域は x≧0 PB 1 ①と②を連立すると √x +1 = x2-1 2/2 ・③ このとき,x2-10 より x≦-1, 1≦x …④ √f(x)=g(x) ③ の両辺を2乗すると x+1 = (x²-1)² ⇔f(x)=1g(1 x4-2x2-x=0 となり xについて解くと x = -1, 0, x(x+1)(x2-x-1)=0 1±√5 かつ gx p. 25 Play Back 1 参 2 y = f(x) と y=f-l(x)の定義域および ④ より 1≦x (別解) よって、 求める共有点のx座標は 1+√5 X= 2 y=f(x) と y=f'(x) のグラフ は直線 y= x に関して対称であ りこれらのグラフの共有点は,右 の図より直線 y=x上のみにあ る。よって, 共有点のx座標は √x+1=x(x>0) y=f(x) 0 2 -1 | y=f¹(x) 1+√5x 両辺を2乗すると x + 1 = x2 すなわちx-x-1=0 x>0より 1+√5 x= 2 グラフから,明らか |共有点が直線 y=x のみ存在するときは、 |線y = √x+Iと y=xの交点を求めて い ただし、一般に共有 直線 y=x上にしかな とは限らない。 y=√-x+14y 10f(x)=√x+6とする! info.tan. y=

f(x)/xで極限を取るのは何故ですか？

例題 91 分数関数のグラフ 次の関数の増減,極値,漸近線を調べて, そのグラフをかけ. x² 2 **** (1) f(x)=-1 x (2) f(x)=-1 (3) f(x)=1/21 考え方 まず,定義域を考える. 分数関数の場合, (分母)≠0 に着目する. 次に,軸との共有点,漸近線,増減表などを調べればよいが、その際 (分子の次数) < (分母の次数)になるように式変形する. m たとえば,(2)はf(x)=- x 1 mに着目する = 1 2 x-1 凸 .3 (3)はf(x)= x E も近線は部分に着目する x²-1 x+- = 2 x-1 となる。一 (漸近線は,部分に着目する. 1次以下の多項式の場合, 漸近線を表す.) 解答 (1) x10 つまり xキ±1 より 定義域は xキ±1 であるすべての実数 (分母)0 f(x)=xx 0 = x x2-1 (x+1)(x-1) f'(x)=- = (x²-1)-x-2x-(x²+1) 0 (x²-1)² (x-1) 2 0=x5014 050 したがって, f(x)の増減表は,次のようになる。 > x -1 1 ... 0 f'(x)- E f(x) C+ また, lim f(x) x±∞ x lim{f(x)-0·x}=0 =0+0 lim x→∞ よって, 極値なし 0 漸近線 (y軸に平行な もの)を求めるときに (分母)=0 となる値を 考える. limf(x)=∞, x→1+0 lim_f(x)=∞ より, 1+0 x=±1 は漸近線 x→∞ のとき, f(x)=0+- x ≒0 x-1 と考えると,y=0 も 漸近線 漸近線は,直線 x=±1,y=0

逆関数は元の関数の値域が定義域になることから、逆関数はx>0の範囲のグラフになると思ったのですが、なぜ違うのか分かりません。🙇🏻‍♀️

(5) x, y を入れ替えると、 x= 3' 0 y= log3 x S y4 3 0= [+x): = x 0 1 3

f(x)の値域･定義域はx>-2,y>0より、逆関数f^(-1)の定義域･値域はx>0,y>-2になると思ったのですが、なぜ違うのか分かりません🙇🏻‍♀️

f(x)=√x+2 とする。 y=f(x) のグラフとy=f'(x) のグラフの共有点の座標を求 めよ。 Stav=x (

マーカーで引いた部分は、どのようにして出たものなのか分からないです💦 わかる方いらっしゃいましたら教えて頂けると嬉しいです🙇‍♂️

[1] 放物線C:y=x-ax-h (a, b は定数)があり、頂点の座標は (1,4) である。 2) 放物線Cをx軸方向にk (kは正の定数)だけ平行移動した放物線の方程式を である。このとき2x-コ = y=f(x) とする。 放物線y=f(x) が原点を通るとき, ウ t-1≦x≦t+1(≧2) における関数 f(x) の最大値を M, 最小値を m とする。 (i) M=2のとき,t= H オ である。

左が問題、右が解答です。 解答より、実数全体を定義域とする二次関数が最大をとる、とはどういうことなんでしょうか？教えてください！

この関数の最小値が8のとざ, 定数kの値を求めよ。 (2)* この関数の値域が y≦2 のとき, 定数kの値を求めよ。 202*2次関数y=ax²-2x+3(0 < x < 2)の最大値がと

数Ⅰ 二次関数について 最大値が等しいとき とありますが、y=x^2-4x+3a+1は平方完成すると下に凸のグラフになり、また、定義域が制限されていないので最大値は決まらない(無限に続く)のでは無いのですか？ 教えて下さい 🙏🏻

74 2次関数y=x2-4x+3a+1の最小値と2次関数 y=-2x²-4x+α-1 値が等しいとき, 定数 αの値を求 めよ。 の最大 [基礎例題 70]

微分の問題なのですが、これはxの値は変化するけどtの値は不変なのですか？x、tがそれぞれどのような役割を果たしているのかわからないので教えて頂きたいです。

EX @158 (1) (t+t)(t+[t-1)= 大教える [1] x≦0 のとき (2)y=f(x) のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 0 実数全体を定義域とする関数f(x) を f(x)=3f (t+t)(t+t|-1)dt によって定める。 (1) y=f(x) のグラフをかけ。 x-1 [類 慶応大] 2t(2t-1) (t≥0) (t<0) ←tl=1 t (t≥0) -t (t<0) ←x≦0 のとき, t≦x から t≦0 x-1≦tsxにおいて (t+t)(t+|t|-10 よってf(x)=3f_0dt=0 [2] x-1<0<x すなわち 0<x<1のとき x-1≧≦0 において (t+|t|)(t+|t|-1)=0 0≦t≦x において ①場合分けして (t+|t|)(t+|t|-1)=2t(2t-1) よってf(x)=3f0dt+3f2t(2t-1)dt SS (121² -61)dt= [41³-31"]" より =4x3-3x2 したがって グラフを書 ②0を群にい 2 分け る (水) 大は動かない ←f(x) は3次関数とな るから, 微分法を利用す る。 f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1) 1 x 0 f'(x) =0 とすると x = 0, 2 f'(x) f(x) 0<x<1における f(x) の増減 表は,右のようになる。 - [3] 0≦x-1 すなわち x≧1のとき)(1 x-1≦t≦x において よって f(x)=3S_21(2t-1)dt=[41-312] |12|0 1 4 ... 1 + (t+|t|)(t+|t|−1)=2t(2t−1) x-1 =4x3-3x2-{4(x-1)-3(x-1)^} 3 \2 =12x2-18x+7=12x- + [1]~[3] から, y=f(x) のグラフは,右の図の実線部分の ようになる。 (2)(1) のグラフから,求める面積Sは 3 --------[x*x−1}]* S=- =- 4 --(3-)*(-1)-256 27 YA 1 14 1 4 2 31x 7章 EX [積分法]

誤答はなぜ間違いなのですか、、

(2) 関数f(x)=x-1+2 について,次の問いに答えよ。 (i) f(0),(2), f (4) の値を求めよ. (i) 定義域が 0≦x≦3 のとき, 値域を求めよ.