例題11
「少なくとも1つ」の証明
1
a+b+c=
a
1
1
+ニ=1のとき, a, b, cのうち少なくとも1つは
b
C
1に等しいことを証明せよ。
考え方
「x, y, z の少なくとも1つは0」→ xyz = 0 を利用する。
1
1
1
証明
=1より,両辺に abcを掛けると
a
6
C
bc+ca+ab=abc
D…
(a-1)(b-1)(c-1)= abc-bcI ca-ab+a+b+c-1
(a-1)(b-1)(c-1) =0
ここで
よって,①とa+6+c=1より
したがって, a-1, b-1, c-1のうち少なくとも1つは0に等しい。
すなわち, a, b, cのうち少なくとも1つは1に等しい。