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のようなm
思考プロセス
259 に含まれる素因数の個数 0② ★★★
n!
708****
求めよ。
(1) 15! = 1･2･3･・・・・ が で割り切れるような自然数の最大値を
(2) 55=1･2･3･・･･・55 は一の位から数えて末尾にいくつ0が続く整数か。
問題の言い換え
15!は2で最大回割り切れる。 kを求めよ。
15 に含まれる因数2の個数kを求めよ。
(2) 55! に含まれる因数 10 の個数を求めよ。
2 × 5 でも 10 が現れるから,単純に10,20,30,40,50の5個としてはいけない。
例1~5に10の倍数はないが 5! 1・2･3･4･5 = 120
公
10/118
Action>> 末尾に続く0の個数は,素因数分解したときの2.5の指数に着目せよ
(1) 1から15までの自然数の中に
2の倍数は 21, 22, 2.3,･･･ 2･7 7個
4の倍数は 41 42 43
8の倍数は8・1
よって, 15! に含まれる因数2の個数は
7+3+1 = 11(個)
k=11
信用
したがって 求める自然数の最大値は
(2) 求める0の個数は 55! に含まれる因数 10の個数に等し
い。 さらに, 102･5 であり, 55! に含まれる因数5の
個数は因数2の個数より少ないから、因数 10 の個数は
因数5の個数に等しい。
ここで、1から55 までの自然数の中に
5の倍数は5･15･25･3･･･ 5･11の11個
25の倍数は 25 125･2
の2個
よって, 55! に含まれる因数5の個数は11+2 = 13 (個)
したがって、求める 0の個数も 13個
Point....n! に含まれる素因数 p の個数
2の倍数
22の倍数
2の倍数
1
2
O
3
4
00
例題 259 (1) において, 15! に含まれる素因数2の個数は、下の表をつくると分かりやすい。
9 10 11 12 13 14 15
O
O
O
10
5 6 7
O
O
8
OOO
の3個
の1個
○
末尾に0がある
200
2 22,23の倍数の個数
をそれぞれ求める。
2,22, 23の倍数の個数
の総和が, 15! に含まれる
「因数2の個数である。
Point 参照。
1から55までの自然数の
うち, 5の倍数より2の倍
数の個数が多い。
259 (1) 20! が3で割り切れるような自然数kの最大値を求めよ。
(2) 150! 一の位から数えて末尾にいくつ0が続く整数か。
55! に含まれる因数5の
個数を求める。
p.477 問題259
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