cは任意の実数 って書く必要ありますか？ また、(2)は傾きが同じでＹ切片が違えば平行(3)では、傾きが同じでＹ切片が同じなら直線は一致するってことですよね？

基本 例題 73 2直線の共有点と連立1次方程式の解 連立方程式 ax+3y-1=0,3x-2y+c=0が,次のようになるための条件 を求めよ。 (1) ただ1組の解をもつ CHART & SOLUTION 2直線A, ⑥ の共有点の座標 連立方程式 A,Bの解 2直線が 連立方程式が [1] 1点で交わる (共有点は1つ ) ⇔ 1組の解をもつ [2] 平行で一致しない (共有点はない) ⇔解をもたない [3] 一致する(共有点は直線上の点全体) 無数の解をもつ 解答 ax+3y-1=0 から ゆえに 3x-2y+c=0 から (1) 連立方程式 ①, ② がただ 1組の解をもつための条件は, 2直線①②が1点で交わる, すなわち平行でないことで ある｡ čast 0 よって a 3 ・キ 3 2 ゆえに y=- ゆえに (2) 連立方程式 ①,②が解をもたないための条件は, 2直線 ①,②が平行で一致しないことである。 よって A=I =-=1/x + 7/3/73 a 3 9 a キー cは任意の実数 2 " 3 y=-2/x+€ a=- a 3 1 C 3 2' 3 2 9 (2) 解をもたない (3) 無数の解をもつ p. 121 基本事項 cキ キ 2 (3) 連立方程式 ①, ② が無数の解をもつための条件は, 2直 線①②が一致することである。 よって a 3 1 C 32' 3 9 c= /²/² 3 1回 ! inf. 2 直線 ax+by+c=0, azx+bzy+cz=0 が 平行であるための条件は ab-azb1=0 である (p.120 基本事項 3 ) から, (1) は abz-azbi≠0 より求めてもよい。 なお, a2 = 0, bz=0, Cz=0 のとき, 2直線が 一致するための条件は Xaα₁ _ b₁_C₁ a2 b₂ C2 である。 (3) は, この式から 求めてもよい。 ← ①, ② は同じ方程式 9x-6y+2=0 となる。 125 3章 11 直線

期待値の問題です。それぞれの確率については理解したのですが、それぞれ何個あるのか求められません。 (1)(2)(3)の図形の個数はどうやって数えるんですか？ 解説よろしくお願いします!!

15:50 8月31日 (木) 102 明 重要 例題 63 図形と期待値 ら無作為に選んだ異なる2つの頂点と,頂点0で三角形 T を作るとき, Tの 1辺の長さが1の正六角形OABCDE がある。 5つの頂点A,B,C, D, E か 周の長さの期待値を求めよ。 解答 0が固定されているから、残りの2つの頂点は5つの頂点A, B,C, D, E から2つの頂点を選べば,1つ三角形ができる。 よって, 三角形の総数は 5C210 (個) [1] Tが正六角形と2辺を共有するとき T は頂角が120° の二等辺三角形で, 全部で3個できる。 CHART & SOLUTION 三角形のパターンを考える 三角形の頂点Oが固定されているから, Tと正六角形が, 辺を何本共有するかで分類する。 パターンに分けた三角形のそれぞれの周の長さと, 個数を考える。 1+1+√3=2+√3 このとき、 周の長さは [2] Tが正六角形と1辺を共有するとき Tは斜辺の長さが2, 直角を挟む1辺の長さが1の直角三 [2] 角形で,全部で6個できる。 このとき 周の長さは 1+2+√3=3+√3 [3] Tが正六角形と辺を共有しないとき Tは1辺の長さが3の正三角形で 1個できる。 このとき 周の長さは 3√3 周の長さ 2+√3 3+√3 3√3 計 3 6 1 確率 1 10 10 10 「タイムライン したがって, 三角形の周の長さの期待値は 3 6 (2+√3) × 2 / +(3+√3) × x+3√3×1/10 合 進路選び 公開ノート - 12+6√3 5 ? Q&A 三角形のパターンは、と 3通り AE-1x №3 [1] ③ A B A B A [3] 30° 1 2 30 B 160 2 56% 1600 n 基本 58 30 30% √3 E D CE D D マイページ 閉じる

最大公約数が整数なのは何故ですか？(マイナスになることもあると思うのですが、) また、a.a+1が負の整数でも成り立つと書いてありますが、そうすると、m,nが自然数であることに矛盾してしまいませんか？

倍数、互いに素に関する証明 基本 例題 108 は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, a+3は6の倍数であると (1) a き α+9は12の倍数であることを証明せよ。 (\2) 自然数a に対し, a と a +1は互いに素であることを証明せよ。 CHART & SOLUTION 倍数である, 互いに素であることの証明 (1) m,nを自然数として α+5=4m, a+3=6n と表される。 そして, 「aの倍数かつ の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数｣ であることを利用する。 また, αとが互いに素のとき 「ak が6の倍数ならば, kは6の倍数」 であることを 利用してもよい(別解 参照)。 (0:34.9) 18 18 3 (2) 互いに素である最大公約数が1 最大公約数をgとおいて, g=1であることを証明すればよい。 自然数 A, B についてAB=1⇔ A=B=1 を利用する。 答 (1)a+5,+3は,自然数m,nを用いて a+5=4m, a +3=6n と表される。 p.174,175 基本事項 1.5| ・① a+9=(a+5)+4=4m+4=4(m+1) a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1) ② よって, ① より α+ 9 は 4の倍数であり, ② より α+9は 6の倍数でもある。 したがって, a +9は4と6の最小公倍数12の倍数である。 (2) α と a + 1 の最大公約数をg とすると a=mg, a+1=ng (m,nは互いに素な自然数) と表される。 (n-m)g=1 aが自然 a=mg を a+1=ng に代入すると キロ mg+1=ng すなわち は自然数であるから n-m=1,g=1 したがって, a と α+1の最大公約数は1であるから, a とα+1は互いに素である。 別解 (1) ①, ② から 4(m+1)=6(n+1) すなわち 2(m+1)=3(n+1) 2と3は互いに素である から,m+1は3の倍数 である。 よって m+1=3k(kは自然数) と表される。ゆえに a+9=4(m+1) だから、 183 =4.3k=12k したがって, α+9は12の 倍数である。 α を消去する。 ◆最大公約数は自然数。 ◆α と α+1 が負の整数で も同様に成り立つ。 4 13 紅 FE 女

x.yを整数とすると、nがマイナスになってnが自然数であるという条件を満たさなくなりませんか？ x.yは自然数とした方がよくないですかね？ 解説よろしくお願いします！

216 基本例題 128 1次不定方程式の整数解の利用 12で割ると余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本127 CHART & SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+by=cの形に変形 条件を満たす自然数は, 整数 x, y を用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 そこで、 まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め、 それから題意の自然数を求める。 答 求める自然数をnとすると, n は x,yを整数として,次のよ うに表される。 n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 すなわち 12x-7y=3 x=3, y=5は, 12x-7y=1 の整数解の1つであるから 12・3-7.5=1 両辺に3を掛けると 12.9-7·15=3 ①②から 12(x-9)-7(y-15)=0 すなわち 12(x-9)=7(y-15) 12と7は互いに素であるから, ③を満たす整数xは x-9=7k すなわち x = 7k+9 (kは整数) ****** ****** と表される。 n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 したがって 84k+109が3桁で最大となるのは, 84k + 109999 を満た すんが最大のときであり, その値は k=10 このとき n=84・10+109=949 RACTICE 128 11で割ると余り、5で割る 上の解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め それから③を導いて解いた。 しかし、例えば x2, y=3 が①の整数解の1つで あることに気がつけば、これを用いて解いてもよい。 本間のように,x,yの係数が比較的小さいときは,整 数解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場 合もある｡ αを6で割った商をQ, 余りをrとすると a=bq+r ◆まず、①の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 の整数解を求める。 このときy=12k+15 x,yの一方が定まれば nも決まる。 84k + 109≦999 から 999-109 ks. 84 = 10.5...... 12・27･3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0

(1)の式の、2/10は何のことですか？ 教えてください🙇‍♀️

重要 例題 51 反復試行の確率 P の最大 10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰り 返しくじを引くものとする。 ただし,一度引いたくじは毎回もとに戻す。 n≧3とし, n回目で終わる確率をPとするとき [類 名古屋市大] (1) Pn を求めよ。 (2) Pn が最大となる n を求めよ。 ●基本 47,49 CHART & SOLUTION 確率の大小比較比 (2)Pが最大となるnの値を求めるには,Pn+1とPn の大小を比較すればよい。 確率の問題では,Pn が負の値をとらないことと, Pnの累乗を含む式で表されること をとり, 1との大小を比べるとよい。 Pn+1をとり,1との大小を比べる APP Pn+1 Pn から、比 TA KIH 解答 (1) 回目で終わるのは, (n-1) 回目までに2回当たりく じを引き, n回目に3回目の当たりくじを引く場合である。 OK よって 3800 P₁=₁-1 C₂ ( 10 ) ( 10 ) " Xx 22/8 \n-3 2 Czl n-3, 10年 -2 (1/3)^(1/1)(n≧3) (2) Pl={n(n-12(14)^2(1)}={(n-1)/n-2)(1/3)^2(1/2)} [大葉立共] _(n-1)(n-2) 2 4n 5(n-2) \5, Pn+1>1 とすると Pn すなわち 4n>5(n-2) 4n 5(n-2) (n−1)(n−2) ALBA ->1 これを解くと n <10 Pn+1−1 とすると n>10 Pn Pn+1 +=1 とすると n=10 Pn よって, 3≦x≦9のとき n=10 のとき 11≦n のとき DŽK P3<P₂<...<P9<P10=P11, P10=P11>P12>····.. したがって,P, が最大となるnの値は n=10,11 Pn<Pn+1, Pn=Pn+1, Pn>Pn+1 -40 (2) Pn+1 {(n+1)-1}{(n+1)-2} 2 '4\ (n+1)-3/1 \3 XI Pnのnの代わり に n +1とおいたもの。 5(n-2)>0であるから, 不等号の向きは変わら ない｡ P"の大きさを棒の高さで |表すと 増加 34 9 最大 12 1011 減少 n

(2)の問題でどうやって距離が等しい座標を求めるのか教えていただきたいです。

(2) 平行な2直線 2x-3y=1, 2x-3y=-6 の間の距離を求めよ。 CHART & SOLUTION -TOTAL [東京電機大 TI 古 p.121 基本事項 7|

(2)アが分かりません💦上の問題の時は紫の四角のようにXの値を掛け算して足してるのになんで今回の問題は掛けてないんでしょうか？ 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

000 期待値の基本 基本例題 58 袋の中に赤玉3個、白玉2個, 黒玉1個が入っている。 この袋から玉を2個 同時に取り出す。 赤玉1個につき1点, 白玉1個につき2点, 黒玉1個につ き3点もらえる。 このとき, もらえる合計点の期待値を求めよ。 CHART & SOLUTION 期待値 変量Xの値と、その値をとる確率の積の和 期待値 Exp+x+..+x" は, 次の手順で求める。 ① x~xn (とりうる値) を求める。 ② pin (①の各値に対する確率) を求める。 pit pet...+pn=1 を確認。 3 Exp+xz2+ +Xnpm を計算する。 解答 合計点をXとし, X =kのときの確率をr で表す。 Xのとりうる値は X=2, 3, 4, 5 P2² X=2 のとき 2個とも赤玉で X=3のとき 赤玉と白玉が1個ずつで p=3CıX2C1_ 6C2 4 -3CiXiC12C2_3+1 6C2 15 15 26C2 ← = X=4 のとき 赤玉と黒玉が1個ずつ、または2個とも白玉で P4= X = 5 のとき 白玉と黒玉が1個ずつで 6C2 15 X 2 3 確率 2 612077809 15 4 5 3 6 4 2 1515 15 15 ps= _2C1X1C1_2 6C2 15 したがって 求める期待値は 3 6 4 2x 15 +3× 15 +4× 15 +5X 15-5-3) 50_100円 2× 3X +5× (点) p.340 基本事項 計 1 3 +(374)9=3²456 約分しない(他の確率と 分母をそろえておく ) 方 が、後の計算がらく。 of BAT (1) BATOR (確率の和)=1 を確認。 もし、1にならなければ、 ｢とりうる値の抜け｣, 「計算ミス」がある。 E OJOAMRS 27 NOS AUTO* P RACTICE 58 ② (1) 袋の中に赤玉3個、白玉2個, 黒玉1個が入っている。 この袋から玉を3個同時 に取り出すとき,その中に含まれる赤玉の個数の期待値を求めよ。 31 (2) 表に 1,裏に2を記した1枚のコインCがある。 (ア) コインCを1回投げ, 出る数xについて x2 +4を得点とする。 このとき、得点 の期待値を求めよ。 (イ) コインCを3回投げるとき, 出る数の和の期待値を求めよ。 Ins 基 C 0

(2)が分かりません💦 4回当たる時と5回当たるときを分けて計算しないんですか？ 分けて計算したら5回目が0になってしまいました😭 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

180 基本例題 47 反復試行の確率の基本 当たりくじ2本を含む8本のくじがある。 引いたくじはもとに戻して1本ず つ5回引くとき,次の確率を求めよ。 (1) 2回だけ当たる確率 ( 2 ) 4回以上当たる確率 CHART & SOLUTION 反復試行の確率 1 反復試行であるかどうかの確認 ② 確率とn, rをチェック Crp (1-p)^-1) 引いたくじはもとに戻すから, 8本のくじから1本のくじを引く試行の 反復試行である。 = 5回繰り返す → n=5 1本引くとき,当たりくじを引く確率b-7238-1 (1) =2 の場合である。 (2) 4回以上とあるから, 4回または5回当たる確率を求める。 各事象は互いに排反であるから, 加法定理を利用する。 解答 1回の試行で,当たりくじを引く確率は SHERRE84 また、はずれくじを引く確率は (1)5回中2回だけ当たる確率は 2_1 1-1---1/10 3 = 4 4 5-2 135 C(+4)*(³) = 10×(4) × (²) - 112 1 =10x| (2)5回中4回以上当たるのは、「5回中4回当たる」または 「5回中5回当たる」場合である。 これらの事象は互いに排反であるから, 求める確率は sc (14)(14)+(41)=5×(14) x 12/2+(1/2-1214 64 =5x| p.329 基本事項 2 ← 1 -p を先に求めておく と、考えやすい。 確率の加法定理。 PES TROBUST 補足1回の試行で当たりくじを引く確率をか、はずれくじを引く確率を1-pとする。ま た,当たりくじを引くことを○, はずれくじを引くことを×で表すと, 5回中2回だけ TOP 当たりくじを引く場合は 00xxx, OxOxx, OxxOx, O×××0, ×00××, XOXOX, x0x x0, xx00x, xx0x0, x××00 の 5C210 (通り) あるから, その確率は 5 C202 (1p)で求められる。 5個の位置から ○の位置を2個 選ぶことと同じ 2章 5 独立な試行・反復試行の確率

(1)の赤字で書いてある式の意味が分かりません。 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

基本例題 46 次の確率を求めよ。 (1) 1枚の硬貨を4回投げたとき,表が続けて2回以上出る確率 (2) 1枚の硬貨を5回投げたとき,表が続けて2回以上出ることがない確率 p.329 基本事項 CHART & SOLUTION Mamuje 3つ以上の独立な試行 ((1) は4つ (2)は5つの独立な試行) の問題でも, 独立なら 積を計算が適用できる。 また, 「続けて ~回以上出る確率」の問題では,各回の 結果を記号 (○やx) で表して場合分けをすると見通しがよい。 (1) 何回目から表が続けて出るかで場合分けする。 (2) 「~でない」 には 余事象の確率 解答 各回について、 表が出る場合を○, 裏が出る場合をx, どち らが出てもよい場合を△で表す。 (1) 表が2回以上続けて出るの 1回 2回 は、右のような場合である。 よって, 求める確率は (1/2)×1°+(1/2)x 連続して硬貨の表が出る確率 3 + 1 × ( ²2 ) ² = = 1/1/2 3 5 19 +(+4)=32 3 ×12+1 5 よって、求める確率は 19_13 1 32 32 5 OXOX OX (2) 表が2回以上続けて出る 1回 回 3回 4回 5回 のは、右のような場合であ り, その確率は (12/2)x1°+(1/2)×1 ×(1/2)x1+(1/2)+(1/2) × × OOX × × O 〇〇 × O × XXOOD × × 3回 × AOO ○ 4回 A △ AAOOOO AAAO00 O ← 1回目から続けて出る。 ← 2回目から続けて出る。 3回目から続けて出る。 (2) 余事象の確率。 ← 1回目から続けて出る。 ← 2回目から続けて出る。 3回目から続けて出る。 ← 4回目から続けて出る。 ○○×○○は1回目か ら続けて出る場合に含 まれる。

確率の問題で試行が独立なら積を計算とありますが、 和じゃないんですか？ イメージ的には同時に起こる事が積、 同時に起こらない事が和、 だと思ってましたが間違ってますか？ 写真に載せた問題で迷いました😭 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

例題 44 独立な試行の確率 (1) 1個のさいころと1枚の硬貨を同時に投げるとき,さいころは4以下の 目が出て, 硬貨は表が出る確率を求めよ。 (2) A の袋には白玉6個,黒玉4個,また, B の袋には白玉8個,黒玉2個 が入っている。 A の袋から3個, B の袋から2個の玉を取り出すとき, 部白玉である確率を求めよ。 p.329 基本事項 CHART & SOLUTION 独立な試行の確率 1 各試行が独立であるかどうかの確認 2 独立なら 積を計算 (1)Sは1個のさいころを投げる試行,Tは1枚の硬貨を投げる試行とすると,試行 S, T は独立。各試行での題意の事象が起こる確率を求めて掛ける。 (2)SはAの袋から3個の玉を取り出す試行, TはBの袋から2個の玉を取り出す試行と すると,試行 S, T は独立。 (1) と同様に, それぞれの確率を求めて掛ける。 解答 (1) さいころを投げたとき4以下の目が出る確率は CONSTA 硬貨を投げたとき表が出る確率は 2 6 3 2 1個のさいころを投げる試行と1枚の硬貨を投げる試行は 独立であるから 求める確率は 1/2 x 1/2 - 1/1/0 1 06 × 3 3 (2) Aの袋から白玉を3個取り出す確率は 6C3_1 10C3 6 8C2 28 Bの袋から白玉を2個取り出す確率は 10C2 45 玉をAの袋から3個取り出す試行とBの袋から2個取り出 す試行は独立であるから, 求める確率は 1 28 14 X 45 135 = ← 1, 2, 3,4の4通り。 ◆独立なら積を計算 玉はすべて区別して考 える。 ◆独立なら積を計算 P RACTICE 44 (1) 1個のさいころと1枚の硬貨を同時に投げるとき,さいころは5以上の目が出て、 硬貨は裏が出る確率を求めよ。 (2) 赤玉4個,白玉2個が入っている袋から, 1個取り出し色を見てもとに戻し、更 に1個取り出して色を見る。 次の確率を求めよ。 (ア) 白玉, 赤玉の順に取り出される確率 (イ) 取り出した2個がともに赤玉となる確率