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数学 高校生

なぜ青線のようになるのでしょうか?

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE・・・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

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物理 高校生

なぜ(2)はy<hの関係があれば良いのですか?

発展内限 中 Q 地上からの高さんの点Pにある小球Bに向けて 同じ高さで距離だけはなれた点Qから,水平に小球 A 速さで小球を投げ出した。 小球Aが投げ出 されると同時に, 小球Bは自由落下を始め, 2つ の小球は点Pの真下の点Rで衝突した。 重力加速 度の大きさをg として,次の各問に答えよ。 (1) 小球Aが点に達するまでの時間を求めよ。 (2) 地面に達するまでに2つの小球が衝突するためには、速さひ はいくらよりも大きく なければならないか。 PABESULUS EA ZJNTJXIIHE/H 指針 小球Aは,水平方向に速さひ。 の等速 直線運動をし、鉛直方向に自由落下と同じ運動を する。 (1) で求める時間は, 小球Aが水平方向に 距離だけ進む時間に相当する。 また, (2) では, (1)で求めた時間における小球Bの落下距離が, 距離んよりも小さければ衝突がおこる。 「解説 (1) 小球Aが, 水平方向に距離 Z だけ進むのに要する時間tは, I Vo (2) AとBが衝突するとき, Bの落下距離yは, (1)で求めた時間を用いて, t= Vo 1 TRE <h P \m \ | /y = 1/2gt² = 1/29 ( 1 )² = 200² a y= ..1 Vo 地面に達するまでに2つの小球が衝突するため には,y<んの関係があればよい。 式 ① から, gl² JER BT v> gle 2 An R g 2h 8√2h > 1 12v,² Q Poi 【Point 小球AとBは、 どちらも鉛直方向に 自由落下をしており, 衝突するまでの間,どの 時刻においても両者の高さは等しい。 したがっ て, Aが水平方向に距離だけ運動したとき, 衝突がおこる。

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