本 例題 90 2次不等式の解から係数決定
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(1) xについての2次不等式x+ax+b=0の解がx=-1,3≦xとなる
ように, 定数 α, bの値を定めよ。
(2)についての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x<1となるよ
うに,定数α, bの値を定めよ。
CHART & SOLUTION
2次不等式の解から係数決定
2次関数のグラフから読み取る
(1) y=x2+ax+b のグラフが x≦1,3≦x のときだけ軸を含む上側にある。
⇔下に凸の放物線で2点 (-10) (30) 通る。
(2) y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけx軸の上側にある。
⇔上に凸の放物線で2点 (-2, 0, 1, 0) を通る。
解答
(1) 条件から, 2次関数 y=x2+ax+b
のグラフは,x≦-1, 3≦x のときだ
けx軸を含む上側にある。
すなわち, 下に凸の放物線で2点
(10)(30) を通るから
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基本 87
1-a+6=0,
9+3a+b=0
これを解いて
a=-2,b=-3
(2)条件から, 2次関数y=ax²-2x+b
のグラフは,-2<x<1のときだけx
軸の上側にある。
すなわち, 上に凸の放物線で2点
(-20) (10) を通るから
a<0.
0 = 4a+4+6
①
0=a-2+6
②
① ② を解いて
a=-2,6=4
これは α<0 を満たす。
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別解 (1) x13≦xを
解とする2次不等式の1つ
は (x+1)(x-3)≧0
左辺を展開して
x²-2x-3≧0
x2の係数は1であるから
x2+ax+b≧0 の係数と」
較して
α=-2,b=-3
lint. 2つの2次不等式
ax2+bx+c<0と
a'x + b'x+c<0 の解
等しいからといって直
にa=d', b=b',c=d
とするのは誤りである。
対応する3つの係数の
X
少なくとも1つが等し
きに限って、残りの係
等しいといえる。例え
c=cであるならば、
a=d', b=b'といえ
