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総合 絶対値が1で偏角が0の複素数をぇとし, nを正の整数とする。
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(1) 1-220で表せ。
(2) 22k を考えることにより, sin2k0 を計算せよ。
本冊数学C例題 108, 133
k=1
k=1
(1) z=cosQ+isin0 であるから
|1-22|=|1-(cos 20+isin20)|
=
√(1-cos 26)2+sin'20
=√
どうにかして
←ド・モアブルの定理。
[√を外す方法を
考える
√2-2cos20=√2-2(1-2sin'0)
←sin 20+cos220=1,
cos20=1-2sin20
=√4sin20=2|sin 0|
k=1
k=1
k=1
n
n
よって, sink日はΣz2kの虚部である。
k=1
k=1
n
(2) = (cos 2k 0+isin 2k 0)= cos 2k0+i sin 2k0
“=
n
←ド・モアブルの定理。
k=1
z2k=(cos0+isin O) 2k
=cos2k0+isin2k0
k=1
n
[1] z=±1のとき, 22k は実数であるから sin2k0=0
[2] z±1 のとき, z2≠1であるから
k=1
2n+2
224=222(22)1_2211-(22)"} 22-221
k=1
k=1
1-z²
1-22
(22-22n+2) (1-22)(22-22n+2){1-(Z)"}←(1)の結果を利用する
=
(1-22) (1-22)
z²+z2n-z
2n+2-1
|1-22|2
ために,分子・分母に
1-2 を掛ける。 また,
|zz=|z=1にも注意。
←z=±1のとき
= (n は整数)
←等比数列の和の公式。
22-21-22n+2+1zz2n
(2|sin0|)2
4sin20 (
ここで, 22+22n-z2n+2-1の虚部は
sin 20+ sin 2n0-sin(2n+2)0
54202251400050
=2sin(n+1)0xcos(n-1)0-2sin(n+1)×cos(n+1)0
=2sin(n+1)0{cos (n-1)0-cos(n+1)0}
=2sin(n+1)0{-2sinnOsin(-9)}
=4sinOsinnQsin(n+1)0
であるから
n
Σsin 2k 0=
k=1
4sin OsinnOsin (n+1)0_sinn0sin(n+1)0
n
4sin20
sino
[1], [2] から, sin2k0 の値は,n を整数とすると
←ド・モアブルの定理。
←sina+sinβ
=2sin
a+β a-B
COS
2
2
cosa-cos β
a+B a-B
=-2sin- -sin
2
← 22k の虚部 [1]
k=1
2
k=1
0n のとき 0, 0πのとき
sinn0sin(n+1)0
sin
A [s]
A
fic
