基本
例題
次の数列の和を求めよ。
C
解答
21 第項にnを含む数列の和
1.(n+1), 2.n, 3.(n-1), ......, (n-1)3,2
方針は基本例題 20 同様, 第k項ak をkの式で表し, Σ を計算である。
第n項がn･2であるからといって、第k項をk-2としてはいけない。
指針
各項のの左側の数, 右側の数をそれぞれ取り出した数列を考えると
.
の左側の数の数列 1,2,3,
......,n-1, n
の右側の数の数列n+1, n, n-1, ......,
3, 2
→初項n+1,公差-1の等差数列→第k項は (n+1)+(k-1)・(−1)
これらを掛けたものが、与えられた数列の第k項an [nとkの式] となる。
また、24kの計算では,に無関係なnのみの式はZの前に出す。
k=1
この数列の第k項は
k{(n+1)+(k-1)・(-1)}=-k+(n+2) k
したがって 求める和をSとすると
n
S={−k²+(n+2)k}=− Σ k²+(n+2)Ë k
k=1
k=1
k=1
6
= -n(n+1){−(2n+1)+3(n+2)}
= Σ(1+2+
k=1
n(n+1) (2n+1)+(n+2) • _ {_n(n+1)
{{√n(n+1)(n+5)
別解求める和をSとすると
S=1+(1+2)+(1+2+3)+
+ (1+2+ ......+n)
+(1+2+..
+ k) + ½ {\n(n+1)
= 1/2k(k+1) ++ + n(n+1)
= + 2(x² + x) + + n(n+1)
k)
k=1
→第k項はん
•+n)
基本1, 20 重要 32\
= 1 {2k²+2k+n(n+1}}
={+ n(n+1)(²n+1) +++ n(n+1)+n(n+1)}
<n+2 はんに無関係
→定数とみての前に
出す。
443
◆1/n(n+1)でくくり、
{}の中に分数が出て
こないようにする。
◆ 1+1+1+ +1+1
2+2+ ...... +2+2
3+ ...... +3+3
+)
とに加えたもの。
1
章
③種々の数列
n+n
は,これを縦の列ご
の紹
チャ
学
関
