102 2次方程式・2次不等式の整数解
整数mに対し, f(x)=x-mx+"-1 とおく。
(1) 方程式f(z)=0 が,整数の解を少なくとも1つもつようなの値を求め
よ。
(2) 不等式 f(x) ≧0 を満たす整数xが,ちょうど4個あるようなmの値を求
めよ。
(秋田大)
f(x) の式にはmの1次の項しか含まれていないことに着目する
と, f(x)=0, f(x) ≧0 は “パラメタの分離” によって, 放物線
精講
y=-1と直線y=m(x-121) の関係に帰着されます。
解答
また,整数問題とみなすと, (1)では解と係数の関係を利用して2つの整数解
の満たすべき関係式が導かれます。 (2)では, 不等式 f(x) ≧0 を満たす整数が
ちょうど4個であるとき, 不等式の解の区間幅からmを絞りこむ方法もありま
す。
(1) 2次方程式 f(x)=0, つまり
x2-mx+ -1=0
m
x2-1=mx
²-1= m(x-1)
......1
の実数解は放物線y=x2-1
･②と直線
y=m(x-1) •••••• ③ の共有点のx座標に等し
第1章
① において, (2解の和)=mが整数であるから,
解の1つが整数のとき、 他の解も整数である。した
がって“②③ 2つの共有点をもち,それらの
座標が整数である”..… (*) ようなmの値を求め
るとよい。
