実力アップ問題 37
難易度
CHECK 1
CHECK2
CHECK 3
y=|x2-2|x||とy=kのグラフが最も多くの共有点をもつための実数の
条件を求めよ。
f(x)が成り立つ。
(芝浦工大)
ヒント! 与えられた曲線が偶関数であることに気付けば,y軸に関して対称な
グラフになるので,まずx≧0のときについて調べればいい。
基本事項
絶対値 |A|
|A|=.
A(A≧0 のとき)
基本事項
-A (A0 のとき)
偶関数の条件
関数y=f(x) が
f(x)=f(x) をみたすとき
y=f(x) を偶関数という。
(i) 2≦x のとき,
y=f(x)=(x=2x+1)-1
2で割って2乗
=(x-1)2-1
頂点(1,-1)の下に凸の放物線
(ii) 0≦x≦2 のとき,
y=f(x)=-(x²-2x+1)+1
=-(x-1)+1
2で割って2乗
頂点(1,1)の上に凸の放物線〕
/偶関数y=f(x) のグラフはy軸
に関して対称になる。
以上 (i)(ii), およびy=f(x) のグラフ
がy軸に関
y
(i)
して対称な
y=x^2-2x
ここで,
y=f(x)=x^2-2x|| とおく。
f(x)=(-x)2-21-x||
|3|=3 だけど|-3|=3となるので,|-3|=|3|
この例からもわかるように, 一般に|-x|=|x|
=|x2-2|x||=f(x)
より,y=f(x) は偶関数である。
ので, 曲線
(ii)
y=-x²+2xy=k
1x1
y=f(x)は
1--
右図のよう
y=k
-2
x
になる。
このグラフ
と直線y=k
y=k
↓よって曲線y=f(x)は,y 軸に関して対
称なので,まずx≧0 の場合について調
べる。
x=0のとき,|x|=xより,
x≥2 (r≥0)
y=f(x)=x^2-2x|
(x²-2x
(2≦x)
(x²-2x) (0≦x≦2)
2xのとき
x(x-2)≥0
x軸に平行な直線
が最も多くの共有点をもつのは, 上図
から明らかに6個の点で交わるときで
あり,こうなるための実数定数 kの条
件 (とり得る値の範囲) は,
0 <k<1である。
(答)
