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⑤ 図形と方程式
よって,
【III型 選択問題】(配点
40点)
0 を原点とする xy 平面上に, 0 と異なる2
点P(x, y), Q(X, Y) があり、
X
X=
x2+y2
=x(x2+12),
Y=
y
=y(X2+12).
x+y^
1,2
(X, Y) =(0,0)より,
X= XC
x2+y2
Y = y
x+y
を満たしている.
であるから,
X2+Y=0
((1) X2+Y2 を x, y を用いて表せまた, x, y
を X, Y を用いて表せ.
(2) 連立不等式
x=
X
X2+Y20
2
y=
(x-1)+(y-1)≦2,
Y
X2+Y2.
... 3
【(x+1)+(y-1)^2
(2)(i) (1) より
により表される領域から0を除いた部分をD
とする.
x2+y2=
1
X2+12
④
である.
(i) PD上を動くとき Q が動いてできる
領域を求め、図示せよ.
(ii) a を正の定数とし, 点 (0, α) をAとす
る. PD上を動くとき, 線分の長さの比
AP
すなわち,
の最小値をαを用いて表せ。
OP
(x-1)+(y-1)^2,
l(x+1)+(y-1)^≧2
[x2+y^2(x+y)≦0,
[x2+y^+2(x-y)≧0
② ③ ④ を代入すると,
【配点】
10点
(2)30点 (i) 14点 (i) 16点.
《設問別学力要素》
大問
分野 内容
配点
小間
配点
知識
技能
思考力
判断力
表現力
5 図形と方程式
40点(1)
10
O
(2Xi)
14
O
(2)(ii)
16
出題のねらい
1
X2+12
-2.
X+Y
82+12
≤0,
1
X2+Y2
・+2・
X-Y
X2+12
≥0.
① より X2+Y°>0であるから,
1-2 (X+Y) ≦ 0,
[ 1+2 (X-Y)≧0
すなわち,
ある領域上を動く点Pについて 対応する点
Q が動く領域を求め図示することができるか, 線
分の長さの比を2点間の距離に書き換えて考察で
きるかを確認する問題である.
y=-x+1/2
YsX+,
((X,Y)≠(0,0)を満たす.)
したがって, 求める領域は、
-x+
解答
x
(1) X=-
Y
y
より,
x+y
x+y
12
XC
+
x+
x" +
2
+y
(x2+y2)2
x+
により表される領域であり、図示すると次
図の網掛け部分になる. ただし, 境界はす
べて含む.
