オレンジの線を引いている以降のところが全くわかりません すなわち〜からです 四角で囲っていることろはなんですか？ 1/2(k+1)(k+2)で終わったらだめなんですか？

自然数nに関する事柄Pが, すべての自然数nについて成り立つ ことを数学的帰納法で証明するには、次の2つのことを示す。 [1] n=1のときPが成り立つ。 5 [2] n=kのときPが成り立つと仮定すると, n=k+1のときにもPが成り立つ。 15ページで学んだ自然数の和の公式を, 数学的帰納法で証明してみよう。 例題 数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。 13 1+2+3+......+ n = n(n+1) 2 10 証明 この等式を ① とする。 ール [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 =1/11(1+1)=1 よって, n=1のとき,①は成り立つ。 [2] =kのとき ①が成り立つ,すなわち 第1章 数列 1+2+3+....+k=1/21k(k+1) ② 15 と仮定する。n=k+1のとき, ① の左辺について考えると, ②から hhyth 1+2+3+....+k+(k+1)=1k(k+1)+(k+1) (1 んなんなっている __1 = (k+1)(k+2) 2 すなわち 20 1+2+3+…+k+(k+1)=1/2(k+1){(k+1)+1} よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。終

最後の右辺-左辺の下の計算が合いません。 教えてください。

3 漸化式と数学的帰納法 (577) B1-10 例題 B1.59 数学的帰納法 (2) 不等式の証明 • **** が2以上の自然数のとき, 1+ 1 1 + 22 + つことを数学的帰納法で証明せよ。 32 <2 n <2が成り立 n1 第8 考え方 2 以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい。 (I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す. Ikk≧2) のとき,不等式が成り立つと仮定し、これを用いて, n=k+1 のと きも成り立つことを示す. 1 1 1+2+32 (I) n=2のとき, + ......① とおく. n 1_5 (左辺) =1+- 3 (右辺)2 22 4' 2 2 より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ. (II)=k(k≧2) のとき, ①が成り立つと仮定すると, 1 =k+1 のとき, は2以上の自然数 1+2+32 + + <2- k² .(*) k 1 10 <2- 何を示すかを明記す (k+1)2 k+1 1 11 1+ + + + + 22 32 12 k² が成り立つことを示す. (右辺) (左辺) る. 分子それぞ (右辺) (左辺) > 0 を示せばよい。 1 1 1 1 1 2 1+ + + + k+1 22 32 k² (k+1)2] 1 >2- 2 + k+1 k (k+1)2] (*) の仮定を利用す るが,不等号の向き に注意する. 1 ならば, >0 k(k+1)- (I), (II)より2以上のすべての自然数nについて ①は成り したがって、(右辺) (左辺) > 0 となり, n=k+1の ときも①は成り立つ。 んは2以上の自然数 だから, k(k+1) よって、 立つ、 k(k+1)^- ocus 数学的帰納法の証明 (スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に

なんで数字増えてるんですか

246. 赤++ +... + √EAT > √2n+1-1 (証)数学的帰納法で示す i) n=1のとき(左辺)=1 (右辺)=-1-1 よって、(左辺)>(右辺)が成り立つ ii)m=実のとき、赤+++劇>2F-1が成り立つと仮定する n=Rtlaとき (左辺)-(右辺)=赤+++++-(263-1) >√2k+1-1 + √ √2643 + = ・V2k+1-2k+3+ 1/2/071 2k+1~~(2k+1)(2)+1. √26+1 1 2k+2- 14k+8kt3 √2k+1 2(k+1) 1 14ktk+4 > √2k+1 2(k+1)-2√(k+1 √2kt1 よって、(左辺)>(右辺)が成り立つ =0 以上より、すべての自然数nについて、成り立つ

左が帰納法による等式の証明、右が帰納法による不等式の証明です。 数学的帰納法における数列の証明において、両辺に〜を加えるという作業と、kをk+1にして解く作業はどう違うのでしょうか？🙇🏻‍♀️

to 1・1+2・2+3・22+......+n2"-1 =(n-1)2"+1 はと ...... ① が成り立つことを数学的帰納法により示す. 〔I〕n=1のとき, ①の左辺と右辺はともに1であるから, ①が成り立つ. [II] n=kのとき, ①が成り立つと仮定する. このとき, 1・1+2・2+3・22+•••••• +k.2k-1 最大 =(k-1)2+1 の両辺に, (k+1) ・2を加えると, 2<,2 1・1+2・2+3・2°+…+h・2-1+(k+1) ・2 =(k-1)・2+1+(k+1) ・2k =2k2k+1 =k2k+1+1 ={(k+1)-1}.2k+1+1 となり, n=k+1のときも①が成り立つ. よって, [I], [II] より すべての自 然数nについて, ①が成り立つ. NAS) AS-(1-AS) A·CT S∙I

解説の13行目に急に出てきたこの2k(2k+1)は何でしょうか？教えてください

264 数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)........ (2n) = 2.1.3.5 (2n-1) [1]n=1のとき、 (左辺)=1+1=2 (右辺)=21=2 よって①は成り立つ

（A）の左辺の式変形で 1+5+9…(4k-3)が、k（2k-1）になる意味がわからないです。

90 証明すべき等式を(A) とする。 145+9 (1)[1] n=1のときにうそつけ うそつけてるのに 左辺 = 1, 右辺 =1(2.1-1)=1 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A)が成り立つ,すなわち 1+5+9+...+(4k-3)= k(2k-1) が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの (A) の左辺は 2 1 +5 +9 + … +(4k-3)+{4(k+1)- 3} =k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1 n=k+1のときの (A) の右辺は (k+1){2(k+1)-1} =(k+1)(2k+1)=2k2+3k+1 よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。 よ [2]

1枚目の写真の赤線を引いているb1=1、c1=2の部分が分かりません。なぜb1=1、c1=2となるのですか？どなたか教えてほしいです！

n=2のとき 最後尾が赤のとき, 1両目は何でもよい。 と数学的帰納法 (113) B1- 最後尾が赤以外のとき, 1両目は赤でないといけない。 解答 n=3のとき 最後尾が赤のとき,2両目は何でもよい. このとき,1両目の塗り方は n=2のときと同じである。 最後尾が赤以外のとき, 2両目は赤でないといけない. このとき,最後尾が青のときと黄のときのそれぞれについて, n=2のときの2両 目が赤のときの塗り方だけ1両目の塗り方がある. このように、最後尾が赤の場合と赤以外の場合で考えてみる. 条件を満たすn両の車両の塗り方の数を am, そのうち最 後尾の車両が赤である塗り方の数を b, 最後尾の車両が赤 以外である塗り方の数を とする。 すなわち, an=bn+an.......① ここで(+1) 両目について考える(kは正の整数) (k+1)両目が赤のとき,k両目は赤,青,黄のいずれでも よいので, ~ 最後尾の車両の色に 注目して考える. 2両目 1両目 赤 赤 C2 赤 青 青黄赤赤 bk+1=bk+ck M 一方, (+1) 両目が青,黄いずれかのとき,両目は赤で なければならないので, Ck+1=26k …③ ここで,b=1,=2とすると, ② 成り立つので,k≧1 として考える. ③はk=1のときも ② ③より これより, bk+2=bk+1+26k bk+2-26k+1=- (bk+1-26k) bk+2+bk+1=2(6k+1+bk) 赤赤赤青黄 (k+1) 両目 両目 赤6k+1 赤}6 青 黄 Ck 赤}b Ck+1 赤}6k x2=x+2 より (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 ④より, 数列{bk+1-26k} は初項 b2-2b=3-2=1, 公比-1の等比数列だから, bk+1-26k=1・(-1)^-'=(-1)^-1 ⑥ k≧2 で考えると ⑤より,数列{bk+1+bn} は初項 bz+b=3+1=4, 公比2の等比数列だから, ⑥ ⑦ より -3b=(-1)-1-2 b=(2+(-1)"} ③より≧2 のとき, bk+1+bk=4・21=2k+1 したがって、①より = 1/2(22(-1)^) -{2k+2_(-1)*} ak よって、 {2"+(-1)"} -{2"+2-(-1)*}(通り)(n≧2) 3 Ca=2bs_1=2.13{2"+(-1)^1=1/2(2'+'-2-(-1)^) b3-2b2 =(3+2)-2・3=-1 bk+1-2bk =-1・(-1)*-2 =(-1)-1 -(-1)^^'=(-1)^ 第

この問題で不等式を一般化して考えることのメリットは、数学的帰納法が使えるようになることですか？

戦略例題 12 一般化による数学的帰納法の利用目 a ≧ 1,6≧1, c 1,c,d のとき,次の不等式を証明せよ。然自分で 8(abcd + 1) ≧ (1 + α)(1+b)(1+c)(1+d) 思考プロセス まず,戦略例題11のように, 文字を減らそうと考えるが, 4文字のときの8は, 2×4とみるか? 24-1 とみるか? noin 文字を減らす 1文字の場合··· 1 (a+1) ≧ 1+α と考えられる。 L2×1ではなく, 21-1 = 2° = 1 とみる。 2文字の場合… 2 (ab+1) ≧ (1+α) (1+b) の証明を考えると L22-12'=2 (左辺) (右辺)=ab-a-6+1 微分法と世界 文 (α-1)(6-1)≧00I=a+g 4文字の場合 (左辺)-(右辺)=(-1) (6-1) (c-1) (d-1) となりそう? ところが,実際に ① を因数分解するのは大変。 しかも、 実際にはこのようには変形できない。 (α=1を①,② に代入すると,②=0 だが 1 ≠0となることからも分かる) 〔本解〕 一般化して考える。 文字の場合 2-1 (a1a2asan+1) ≧ (1+a) (1+a2) (1+αs) ... (1+α) を, 数学的帰納法を用いて示す。 Action » 具体数の場合で示しにくいときは,一般化することを考えよ (別解) 式を分ける (4文字) = (2文字) + (2文字)とみて 8{(ab)(cd)+1}≧{(1+α)(1+6)}{(1+c)(1+d)} を示すことを考える。 7(土)している。 2文字の場合の2(ab+1) ≧ (1+α) (1+6)の利用を考える。 解 自然数nに対して, a, ≧1 (i = 1, 2, 3, ...,n) のとき 2-1 (arazasan+1)≧(1+α) (12) (1+αs)... (1+an) が成り立つことを証明する。 [1] n=1のとき (左辺)= α+1,(右辺)=1+α (*) (左辺)=(右辺)であり,(*)はn=1のとき成り立つ。 [2] n=k のとき,(*) が成り立つと仮定すると 2k-1 (a1a2a3ak+1) ≧ (1+aì)(1+α2) (1+αs)... (1+ak) n=k+1 のとき (左辺) (右辺) = 2k (aayasakak+1 + 1) 不等式を一般化し,数学 的帰納法を利用する。

数B数学的帰納法です。 n＝k+1のとき、と言っているのに漸化式でn＝kとする、とはどういうことですか？

基本 例題 48 数列の一般項と数学的帰納法 0000 a1=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列{an} に 明せよ。 CHART & SOLUTION ついて,一般項 αn を推測し, それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証 [宮崎大 ] p.420 基本事項 1 基本45 漸化式と数学的帰納法 n=1,2,3, で調べて化 (一般化) 実際に n=1,2,3, ……… のとき (a1,a2, Q3, ……………)を求め,その規則性からan を推測し, それを証明する。 基本例題 30のINFORMATION も参照。 解答 α=-1, a2=a2+2・1・α-2-3 a3=az2+2・2・α2-2=-5 a=a2+2・3・α3-2=-7 ゆえに, an=-2n+1 ...... ① と推測される。 すべての自然数nについて ①が成り立つことを数学的帰納 法で証明する。 [1] n=1のとき (−1)2+2(−1)-2 (-3)2+4(-3)-2 (-5)²+6(-5)-2 ←負の奇数、すなわち -(2n-1)=-2n+1 ① で n=1 とすると a=-1 よって, ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1 ak=-2k+1 AS n=k+1 のとき, 与えられた漸化式から ak+1= (ak)2+2kak-2 AS 漸化式でn=kとする。 M =(-2k+1)2+2k (-2k+1)-2k=-2k+1 を代入。 =-2k-1 1 =-2(k+1)+1 したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。

数B数学的帰納法です。 8行目の式から、なぜ11行目のすなわち〜に繋がるのかが分かりません。

基本 例題 47 数学的帰納法と不等式の証明 800000 n5 を満たす自然数nに対して, 2">n" が成り立つことを数学的帰納法に よって証明せよ。 基本事項 1 基本 45 か.420 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (一般) MOTULO TRAMS 必要な場合) [1] 出発点はn=1 に限らず [2]n=kの仮定から n=k+1 の証明 この例題では,n≧5 であるから,まず を出発点とする。 [1] n=1 のとき の代わりに [1] n=5のとき また,不等式 AB を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。 解答 (-) 2">ne ...... ① とする。 [1]n=5のとき (左辺) =25=32, (右辺) =52=25 ゆえに、不等式①はn=5のとき成り立つ。 [2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 121 2k>k2 n=k+1 のとき, ①の両辺の差を考えると 2k+1_(k+1)²=2.2"-(k+2k+1) すなわち 2k+1>(k+1)2 >2k2-(k+2k+1) =k-2k-1=(k-1)^2>0 よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。 [1], [2] から, n≧5 を満たすすべての自然数nについて不等 式①は成り立つ。 (左辺) =2+1 (右辺)=(k+1)2 <+2.2>2-k² k≧5 であるから (k-1)^2はん=5で 最小値14 (0) をとる。 42