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女子大理)
京都産大)
まり、
う.
{
2
n-00
π
4
0
(2) 2"×sin
2n
2
が成り立つことを証明せよ.
limb=lim
● 8 数列の極限/漸化式
<0 とするとき, 次の条件によって定められる数列{an}がある.
0
2
1+ an
V 2
(n=1, 2, 3, ...)
(3) bn=aXazxas x
表せ.
1
an+1 = √ √ ² (1 + a₂)=√ √/2² (1-
0
an=COS が成り立つことを示せ .
2n
a=cOS
=2"×sin ・X cos
0
2n
日
2n+1
0
2n
解答量
(1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ.
n=kで成り立つとすると,
a1a2
0/2"
n→∞ sin (0/2n)
Cm は一定で, Cn=C=2cossin
(3) cm=2"sin
COS
2
-X cos
0
<< であるから.cos max1>0
π
2k+1 4
>O
2k+1
半角の公式を連想する
本間は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式
と関連させて眺めよう. すると, COS
0
2
1+cos
2
の公式を連想するのは難しくはないだろう.
sin
0
an+1 =
X cos
0
2n+1
･an
日
0
1+cos
よって,n=k+1 でも成り立つから, 数学的帰納法により証明された.
(2) 与式の左辺をcm とおくと,
Cn+1=2"x2sin
日
2²
X cos
X cos
sin 0
0
= sin0
0
22
0
2k
=
0
2
Xan (n=1,2,3, ......) とおく.0±0 のとき, limb を 0 を用いて
n→∞
X cos
× ...... X cos
-X cos
... sin0=2"sin
cos 2.
0
..
22
0
0
23
日
2k+1
2n
・ ×・・・・・・ X COS
=Cn
bn
X cos
ak+1 = COS
0
2k+1
0
2n
= sin0 (n=1, 2,3,
0
2n
>
(新潟大・理,医, 歯)
.)
- 1/12(1+cosa)=cos
√ x2 =|X|に注意して√を外
す.
2sin
2
0
0
2n+1 2n+1
(2sinacosa=sin2a)
(2) も数学的帰納法で示すこと
ができる.
・COS
α
2
=sin
0
2n
