する。
のとき、
35
を間
反作
基本例題34, x+y+z=n の整数解の個数 9/23/46×1923×
349
((1) x+y+z=9,x≧0、y≧0, z≧0 を満たす整数x, y, zの組(x, y, z) は,
全部で何組あるか。
(2) x+y+z=12を満たす正の整数x,y,zの組(x,y,z) は、 全部で何組ある
[類 芝浦工大, 神奈川大]
基本33
重要 35
2つの仕切りを考え,例えば
は
(x,y,z)=(2,3,4)
指針 (1) 9個の
は
(x, y, z)=(5, 4, 0)
を表すと考えればよい。 つまり, (x,y,z) の組の総数は,異なる3種類のものから、
重複を許して9個取る組合せの総数となる。
(2) 正の整数解であるから,x,y,zは0であってはいけない。 そこで
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とき
X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解の場合に帰着させる。
であってもよい
また,別解のように,12個の○と2つの仕切り |で考えることもできる。
FSD
章 5 組合せ
解答
(1) 異なる3種類のものから,重複を許して9個取る組合せの
総数であるから
3Hg=3+9-1Cg=11Cg=11C2=55 (組)
9個の○と2つのの順
列の総数と考えて
(2) x-1=X,y-1=Y, z-1=Z とおくと
11Cg=112 としてもよい。
X≧0, Y≧0, Z≧0
このとき, x+y+z=12から
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=12
<x=X+1,y=Y+1,
よって X+Y+Z=9, X≧0,
0, 20
z=Z+1 を代入。
求める正の整数解の組の個数は, A を満たす0以上の整数解
X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より
55組
12個の
: ○○
を並べる
○○○
例えば
このとき ○
入れ
○の間の11か所から2つを選んで仕切りを
A|B|C
000100000
10000
としたときの, A,B,Cの部分にある○の数をそれぞれ
は (x,y,z)=(3,5,4)
を表す。
x,y,zとすると、解が1つ決まるから
C2=55(組)
A,B,C,D の4種類の商品を合わせて10個買うものとする。 次のような買い方
034
はそれぞれ何通りあるか。
とき。
