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a,b,c を自然数とするとき、次の不等式を示せ。
(1) 2ª+2ª+2b
(2) 2a+b+c2°+2+2+2
(3) 2a+b+c2a+b+20+c+20+u_
(1)
"-4
思考のひもとき
1. a³.a²=a+g
2 AB-kA-IB+kl= (A-1)(B-k)
3. ABC-A-B-C において, A,Bを固定すると (A,Bを定数とみなすと)、Cに
ついての 1次関数 (AB-1)C-A-B とみなすことができる。
a b c を自然数とする。
A=2,B2,C=2 とおくと 2012-2-ABA (2)1)についてもご
2a+b=2.2=ABL
同様に, 2a+b+c= ABC, 25c=BC, 2+4=CAで
AZ2, BZ2, CZ2; a,b. Le
2a+b(2°+2)=AB-(A+B)
=(A-1)(B-1)-1 ..... ①
ここで, a,bは自然数だから A=2°≧2,B=2*≧2より
A-1≧1, B-1≧1
∴ (A-1)(B-1)≧1-1=1
....
① ② より
第2章 菊之式
してたすきがけ
(2)
A,Bを固定し, Cについての関数とみなしてf(C) とおくと
f(C)=(AB-1)C-A-B-2は1次関数で
傾き: AB-1≧2-2-1=3, Cの変域 : 2≦C であるから
f(C)≧f(2)=2(AB-1)-A-B-2
=(AB-A-B)+(AB-4)
0+0=0 ( (1), AB≧4)
15.11 13
AB-(A+B) ≧0
∴2a+b≧2°+26
(等号は, A=B=2のとき、つまり、a=b=1のときのみ成立する)
2a+b+c_(2°+2°+2°+2)=ABC- (A+B+C+2)
f(C)A
= A
0
2