数1の問題です。写真の(2)の解説が2枚目なのですが、[3]で何をしているのかわからないので教えてください🙇

例題 109 方程式の解の存在範囲 [1] **AND ★★★☆ xについての2次方程式 x2ax-a+2=0が次のような解をもつと き 定数αの値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2つの正の解 (3)符号が異なる2つの解 お (2)異なる2つの3より小さい解 (S) A

写真の問題についてです 2枚目が解説なのですが黄色の部分がよく分かりません。

PRACTICE 97Ⓡ 2次方程式 x2-2ax+α+7=0について考える。 次のものを求めよ。 (1) 1より大きい異なる2つの解をもつためのαの値の範囲

三角関数の問題についての質問です。青マーカーを引いたところなのですが、なぜ-4≦a≦0ではダメなのですか？軸が0、1の時も一応共有点は持つということになると思うのですが。2番目でf(0)＝0やf(1)＝0となる場合を考えているから必要ないということでしょか。

150 と 294 第4章 三角関数 Think 例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件 **** OOT とする. 0 の方程式 -cos20+asin0+a=0 1 を満たす 0が存在するための定数 αの値の範囲を求めよ. ( 岩手大改) 使え方 gin0 とおくと、2倍角の公式を利用して、の2次方程式として考えることがで きる 共有点を考えるとよい . まり、その2次方程式の解の存在範囲の問題となるので、 2次関数のグラフと軸の a α Bt tのとり得る値の範囲に注意しながら, 実数解 tの存在範囲を調べればよいが, そのと ときの着眼ポイントは, 「区間の端点の符号」, 「軸と区間の位置関係」, 「判別式 ( き,上のようにいろいろな場合が考えられ, 場合分けの必要がある. 場合分けをする は2次関数のグラフの頂点のy座標)」である。 解答 t=sin0 とおくと,0≦πより, 0≤t≤1 ② cos20=1-2sin'0=12t より ①に代入して, もの値の範囲に注意 する. do-(1-2t2)+at+a=0 つまり, 2t2+ at + α-1=0 ......③3 全国でしたがって, ①を満たす 0 が存在するための条件は,区 間 ②において,tの2次方程式 ③が少なくとも1つの実数解 をもつこと,つまり,③より,f(t)=2t+atta-l とお ふとy=f(t)のグラフが区間 ②でt軸と少なくとも1つ の共有点をもつことである. m (i) f(0) f(1) が異符号のとき つまり,f(0)f(1) 0 のとき f(0)=a-1 f(1)=2+a+a-1=2a+1 したがって, (a-1)(2a+1) < 0 よって、 << if(0)=0 または f(1)=0 のとき niannie つまり,f(0)f(1)=0 のとき (a-1)(2a+1)=0 m 最終的に2次関数の 問題として捉えるこ とができるかがポイ ント 区間の端点の符号で 場合分けを考える. (注》 を参照) f(0)>0,f(1)<0 または、 f(0) < 0, f(1)>0 より f(0)f(1) <0 f(0) = 0 のとき, す 0 1 よって, a=- または a=1 でに t=0 が③の解 となるのでf(1) の符 号は関係ない. 207 0 me med

(1)なのですが、2つの解がともに2以上ということは、重解は入らないのではないのでしょうか！！ この解答では判別式D≧0となっているので混乱してしまいました🥲 どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

xについての2次方程式 x2 (α-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよ な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 .76 基本事項 5 基本 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-kの符号から考える (1) 2以上とは2を含むから,等号が入ることに注意する。 a≧2,B≧2⇔ (a-2)+(β-2)≧0, (α-2) (B-2)0 (2) α <2<β または β<2<α⇔ (α-2)(β-2)<0 解答 「と」 x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6α-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (a-2)+(β-2)≧ 0 Linf. 2次関数 C f(x)=x2-(a-1)x+a このグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, f(2)≥0 a-1 2 ① (a-2)(B-2)≥O ****.. ③ ①から a2-6a-23≧0 I>n>E ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a ④ ②から a+β-4≧0 ゆえに (a-1)-4≥0 よって a≥5 ⑤ ③から aβ-2(a+β)+4 ≧ 0 見ない。 ゆえに(笑)α+6-2 (α-1)+4≧0(よってa≦12 ...(6) ④ ⑤ ⑥の共通範囲を求めて [1] [2] 3+4√2 ≦a≦12 (2) α<2<Bまたは<2<αであるための条 を満たす Ef(2) a (2) f(2)<0 (p.765 補足 参照 3-4/2 5 3+4/2 ④件は #1 (a-2)(B-2)<0 このとき,D> よってα+6-2(4-1)+4<0 これを解いて α>12 立っている。 (6.75

1番の条件で、Ｄ≧0の理由が分からないです。 どなたか教えていただきたいです🙏

基本 例題 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 p.87 基本事項 2 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0 の2つの解をα,βとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1> 0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 →α-3 と β-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 f(x)= r²-2bx+2+2

なぜ根号内が完全平方式になるのですか？ 　

例題 重要 例 47 因数分解ができるための条件 x2+3xy+2y2-3x-5y+hx,yの1次式の積に因数分解できるとき, 定数 の値を求めよ。 また, その場合に,この式を因数分解せよ。 指針 与式がxyの1次式の積の形に因数分解できるということは, (与式)=(ax+by+c)(x+qy+r) [東京薬大] 基本46 の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,こ こでは,与式をxの2次式 とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解の1 次式でなければならないと考えて,kの値を求めてみよう。 ポイントは,解がyの1次式であれば,解の公式における内がyについての完 平方式(多項式)2 の形の多項式] となることである。 P=x2+3xy+2y2-3x-5y+k とすると P=x2+3(y-1)x+2y²-5y+k P=0をxについての2次方程式と考えると,解の公式か ら x= -3(y-1)±√9(y-1)2-4(2y2-5y+k) x2の係数が1であるか ら,xについて整理した 方がらくである。 83 解答 2 2 2章 9 解と係数の関係、解の存在範囲 -3(y-1)±√y2+2y+9-4k 2 Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この 解がyの1次式で表されなければならない。 よって、 根号内の式y'+2y+9-4k は完全平方式でなけれ ばならないから, y2+2y+9-4k=0 の判別式をDとする D と =12-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2 この2つの解をα βと すると, 複素数の範囲で はP=(x-α)(x-β) と因数分解される。 完全平方式 ⇔=0が重解をもつ ⇔判別式 D=0 -3(y-1)±√(y+1)_-3y+3±(y+1)√(y+1)=ly+1|であ このとき x= 2 すなわち x=-y+2, -2y+1 よって P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) 2 るが, ± がついているか ら,y+1の符号で分け る必要はない。 恒等式の性質の利用 2+xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから,与式がxyの1次式の積に因数分解できると すると, (与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ...... ① と表される。 ■は,xとyの恒等式であり, 右辺を展開して整理すると 与式)=x2+3xy+2y+(a+b)x+ (2a+b)y+abとなるから、両辺の係数を比較して

（1）の問題でＤ>0ではなくＤ≧0になるのはなぜなのか教えてください！2つの解だからＤ>0という考え方は違うのでしょうか？

82 62 基本例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2) 00000 xについての2次方程式 x2(α-1)x+α+6=0 が次のような解をもつよう な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 p.76 基本事項 5. 基本 48 CHART & SOLUTION 実数解 α β と実数の大小 a-k, β-kの符号から考える (1)2以上とは2を含むから, 等号が入ることに注意する。 a≥2, B≥2 (a-2)+(B-2)≥0, (a-2)(B-2)≥0) (2) α <2<β または β<2<α⇔ (α-2) (B-2)<0 解答 x²-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6a-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は、次の①、②、③が同 時に成り立つことである。 D≧0 (α-2)+(β-2)≧0 (α-2)(B-2)≧0 x (6-1) 3+5 in 2次関数 |f(x)=x2-(a-1)x+a+6 のグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, ƒ(2)≥0 f(2) a-1D 2 & C

二次方程式の解の存在範囲に関しての自治医大の問題なんですが、自信がなく偶然答えがあってしまって自分の解答が正確か分かりません。模範解答と照らし合わせましたが、模範解答は何を言っているかわかりません泣 添削またはアドバイス等お願いしたいです。 問題と模範解答、解答を順に載せま... 続きを読む

練習 2次方程式x2+ (2-α)x+4−2a=0 が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつよ 125 うな定数αの値の範囲を求めよ。 [類 自治医大 1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」場合を次のように分けて考えると よい。 [2] 解の1つがx=-1のとき。 [3] 解の1つがx=1のとき。 [2][3] 以外は -1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ場合であるから, [1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるとき (重解を含む)。 [4]1つの解が-1<x<1. 他の解がx<-1 または 1 <xの範囲にあるとき。 と分ければよい。 f(x)=x2+(2-a)x+4−2aとし, f(x) = 0 の判別式をDとする。 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にある (重解を含む) ための条件は y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分 と, 2点で交わる (接する場合も含む) ことである。 よって,次の (i)(iv) が同時に成り立つ。 (i) D≧0 [1] [4] に 1 K 求 |別解 (i) f(-1)>0 I (iii) f(1)>0 (iv) -1<軸<1 (i) D=(2-α)2-4・1・(4−2a)=α+4a-12 =(a+6)(a-2) D≧0 から (a+6)(a-2)≧0 ゆえに a≤-6, 2≤a ① (ii) f(-1)=-a+3 f(-1)>0 から -a+3>0 よって a <3 ② (iii) f(1)=-3a+7 f (1) > 0 から -3a+7>0 7 よって a< ③ 3 + -1 [1] D=0, (ii), (ii), (iv) が同時に成り立つとき, 1つの解 (重解) が -1<x<1の範囲にあ る。

2以外の全ての実数になるのがわかりません 教えて欲しいです

a の値の 【類 摂南大) もってい 係を考え 基本 例題 98 2次方程式の解の存在範囲 (3) 戦国のさかい目の線 0.1.2 0000 2次方程式x-2α-1)x+(a-2)=0 の異なる2つの実数解をα,βとす あるとき、0<<1<B<2 を満たすように、定数αの値の範囲を定めよ。 解の存ヴつて考える [類 立教大 〕 ●基本 96,97 CHART & SOLUTION 2次方程式の解が2数, gの間グラフをイメージ f(p), f(g) の符号に着目 f(x)=x-2(a-1)x+(α-2)2 とすると, y=f(x) のグラフは 下に凸の放物線で、 右の図のようになる。 解の存在範囲が 0 <α <1, 1<B<2 となるようにするには,f(0), f(1), f (2) 符号に着目する。 右の図から f(0)>0 かつf (1) < 0 かつ f (2)>0 を満たすようなαの値の範囲を求めればよい。 解答 f(x)=x-2(a-1)x+(a-2)2 とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, 0 <α<1 <β<2 となるための条件は f(0)>0 かつf (1) <0 かつ f(2)>0 である。 ここで (0)=(a-2)2 f(1)=1-2(4-1)+(a-2)^=α-6a+7 f(2)-4-4(a-1)+(a-2)²=a2-8a+12 ① *****. ② *****. ③ ④ ⑤ ***** ⑥ =(a-2)(a-6) [(a-2)²>0 であるから ①から ②から ③から a²-6a+7<0 (a-2)(a-6)>0 2以外のすべての実数 3-√2 <a<3+√2 ④ ⑤ ⑥の共通範囲を求めて 9 a <2,6<a 3章 + A 1 11 0α 0 B2 x 2次不等式 グラフをイメージする。 ■3つの条件がすべて必要。 例えば,f(0) >0でなく, f(0) <0 とすると, y=f(x) のグラフは, 次の図のようになり, 適さない。 x ←a²-6a+7=0 の解は =3±√2

写真の質問に答えてください！

212 基本例題 129 2次方程式のとの大小 (2) 2次方程式 ax- (4+1)x-a-3=0が-1<x<0, 1<x<2の範囲にそれぞれ いつの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。 指針 f(x)=ax²-(a+1)x-a-3(a≠0) として グラフをイメージすると, 問題の条件を満 たすにはy=f(x)のグラフが右の図のよ うになればよい。 すなわち f(-1) f(0) が異符号 [f(-1)ƒ(0) <0] かつ f (2) が異符号 f(1) [f(1)ƒ(2)<0] である。 αの連立不等式を解く。 f(0)=-a-3, f(-1)f(0) <0から f(1)=a・12-(α+1)・1-a-3=-a-4, f(2)=a22-(a+1)・2-a-3=a-5 (a-2)(-a-3)<0 (a+3)(a-2)>0 ゆえに よって また、f(1)(2) 0から a<-3, 2<a f(x)=ax²-(a+1)x-a-3 とする。 ただし αキ 0 解答題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1<x<0, 1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。 すなわち f(-1)f(0) <0かつf(1)(2)<0 ここで ...... (-a-4) (a-5) <0 ゆえに (a+4)(a-5)>0 よって a<-4,5<a ①,②の共通範囲を求めて a<-4,5<a これはα≠0 を満たす。 CHART 解の存在範囲 f(pf(g) <0ならgの間に解(交点あり ...... + ① どうして [a>0] y=f(x) 652 38 注意 指針のグラフからわ かるように, a>0(グラフ f(-1)=a・(-1)-(a+1)・(-1)-a-3=a-2, が下に凸), a<0 (グラフ が上に凸)いずれの場合も |_ƒ(−1)ƒ(0) <0 f(1)ƒ(2) <0 が,題意を満たす条件であ る。 よって, a>0のとき a<0のときなどと場合分 けをして進める必要はない。 0 1 =<C< 5/2/₁ U ① p.207 基本事項 2要130 148 -4-3 2x [a<0] ly=f(x) 振り返り 2 例題128, 129のよう を「解の存在範囲」 この解の存在範囲の ■ 2次方程式であるから、 ( x 2の係数) 0 に注意 12 ad AB of ● 「方程式の実数解 「方程式f(x)=0+ <x<gの範囲に 囲の問題は,例題 4.5m ③ 129 1つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。日 東習 2次方程式 ax²-2(a-5)x+がのぼ01<x<2の範囲にそれぞれ 方程式 の範囲 ●グラフが指定さ 2次関数のグラス [1] 判別式 p.220 EX921 この3つの条件に 放物線y=f(2 であるとき,グ 件となる。 [1] 判別式 [2] 軸の位置 [3] 区間の [1] と[2] を合 を意味する。 更 xpの範囲に ●グラフの条件 上の条件を ｢p<x<g の範 するかを考え [1] の DC [2]は、軸 [3] は、f( となる例題 右の図のよう のように変化 このように, をかいて考え