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確率変数の期待値,分散,標準偏差
発展例題 12400
基礎 例題 105
から6までの番号をつけてある6枚のカードがある。 この中から2枚のカ
コードを同時に引くとき, 引いたカードの番号の大きい方をXとする。 この
とき、次のものを求めよ。
(1) Xの期待値
CHARI
& GUIDE
確率変数 X の期待値,分散,標準偏差
E(X)=2xp. V(X)=E(X²)—{E(X)}², 0(X)=√V(X)
まず、Xのとりうる値を求める。 X=1 はあり得ないから、Xの確率分布(X=2, 3.
4,5,6) を求める。なお, 番号 Xは整数であるが, 期待値や分散は整数になるとは
限らない。
1
E(X)=2+3+4+
15
解答
6枚のカードから2枚を引く方法は全部で
C2 = 15 (通り)
(1)X=k(kは整数で2≦k≦6) のとき, 1枚は番号がんのカー
ドで残りは (k-1) 枚
から1枚選ぶから Xの
確率分布は右の表のよう
になる。
よって, Xの期待値は
15
(2) (1) から Xの分散は
V(X)=E(X)-(E(X))^
-70 196
14
9
3
9
(3) (2) から Xの標準偏差は
a(X)=√V(X)=₁
(2) Xの分散
EX 105
V 9
X
P
-
√14
3
2 3
1
15
456
15
2
(3) Xの標準偏差
4315
+6·
5 6 計
15 15 15 15
||
- (2²-½ + 3³²- ²/5 + 4²² ³35 +5² +53 +6²-)-(¹)
2
+3²..
4
15
15
15
15
4 5
5
70 14
15 15 3
1
(2) V(X)=E((X-m))
で求めると、次のように
計算が大変になる。
v(x)=(2-1)³.5
+(3-14). /1/2
COLT
+(5-1) ²1/1
· (64+50+12
135
+4+80)
210 14
=1/4
135
率定数aX+bの期待値, 分散
例 106
例題
X を確率変数, a, bを定数とする。 Xの分散 V (X) と αX + b の分散
▲発展例題 123①
(X+6) においてV(aX+b)=²V (X) が成り立つことを証明せよ。
(②) 赤玉3個と白玉2個の入った袋から, 3個の玉を同時に取り出すとき, 3
のうちの赤玉の個数をXとする。 このとき, 確率変数 2X +3 の期待値
と分散を求めよ。
2個のさいころを同時に投げるとき 出た目の小さい方をXとする。 こ
the
CHART
確率変数aX+bの期待値,分散
E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X)
(1) E(X)=m とすると
分散の定義F(X)=E((X-m)") を利用。
(2) まず, Xの確率分布を求め, E(X) と V(X)を計算する。
GUIDE
E(X)=mとすると E(ax+b)=aE(X)+b=am+b
よって
V(ax+b)=E({(ax+b)(am+b)}})
= E((aX-am)²)=E(a²(X-m)²¹)
=a²E((X-m)²) =a²V(X)
E(aX+b)=am+b
Xのとりうる値は 1 2 3 である。
CX2C23
P(X=1)=
=
5C3 10
3C3 1
5C3 10
P(X=2)=3C2X2C1 6
P(X=3)=
よって,Xの確率分布は右の表の
ようになる。
ELX)=1+30 +2.00 +3-10-18 - 23/0
6
9
+3・
10
5
X 1 2 3 計
3 6 1
P
10 10 10
ゆえに
一致しないけど、(2x+3)=2F(X)+5=2
5
どこが間違ってますかそx)=4.
9
25
SC3
9
18
v(x)= (1²• 10
V(X)-(1³.36 +2³.5+3². 1)-(2)²-½-( ? ) - ²
6
10
36
25
1
33
-V(X)=E((X-m
(変数)(確率
7
v(x)=E√(x-m³²²
aE
本当にそうなるか知りたい
から105の問題の数を
代入したら.
-V(X)=E(X¹3(EX)
4章
x=3のとき
V(3)-143-447
488
orq
20
14(2714)
44.43
-V(2XV
+3" とるな
確率変数の期待値と分散
