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第3章 図形と方程式
STEPB
次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) y≤-x²+4
*(2)y>-2x2+4x
(3)y=2x4.x+3
(3x-2y-2)(2x+3y +3) < 0
次の不等式 連立不等式の表す領域を図示せよ。
(2)x+y^<4
235 x, yは実数とする。 次のことを証明せよ。
mix+y^<25 ならば 3x+4y <25
第3節 軌跡と領域
53 0
ならば
Jx+yesa
(3) x+y>√2
x²+y2-8x+12>0
(2) (v2.x)(y+2x) < 0
ならば
236 次の不等式を同時に満たす整数の組 (x, y) をすべて求めよ。
2y-x+320
x+y²-2x+4y<4,
x+y>1
-4STEP数学Ⅱ
また、直線
JV
Q
連立不等式
3x+4y=25 は, 円
24.20
たす点(x,y)の存在
領域は右図の斜線部
である。 ただし、境界
含む。
jy=k
くと、 ①は傾きが2
ーがkの直線を表す。
x2+y^2=25上の点
15
(3,4)における円の接
線である。
-5
よって, PとQは図の
ようになり
①
-5
PCQ
. 直線 ①が点 (20) を通るときの値
ある。
したがって,x+y<25ならば3x+4y<25
となる。 すなわち, の値は最大となる。
k-2-2-0-4
(2) 不等式x'+y°<4
城上で直線 ①が円+y'=4に接する
この値は最大となる。 すなわち, kの値は
る。
y=2x-k 2
-y=4に代入して
2+(2x-k2=4
Pは円x+y'=4の内
部であり, Qは円
x2+y-8x+12=0
の表す領域を
不等式 x + y2-8x + 12>0の表す領域を
とする。
不等式①、②を同時
に満たす点(x, y) の
存在する領域は右図
の斜線部分である。
ただし、境界線は,円
(x-1)+(y+2)²=9
を含まないで, 他は含
む。
図から
解答編
ゆえに、求める領域は [図] の斜線部分であ
ただし、境界線を含まない。
34 x
(1)
(2)
-2<x<4
k
y
これを満たす整数xは
x=1のとき, ① ② から
(y+2) <5, y≧-2
これを満たす整数yは
x=-1, 0, 1,2,3
y=-2,-1,0
2
x=0 のとき, ①,② から
3
(y+2)² <8, y-
2
x²-4kx+k2-4=0 ...... ③
式の判別式をDとすると
すなわち, 円
(x-4)2+y2=4
の外部である。
よって, P と Qは図の
ようになり
PCQ
したがって,x2+y2 <4ならば
x2+y²-8x +12>0である。
(3) 不等式x+y> √2の表す領域をP
245)
Ind
これを満たす整数 yは
y=-1,0
238 針■■■
直線 y=ax+b2
点P, Qの間を通る
とき 右の図からわ
かるように, 2点P,
Qは,直線
y
y>ax+
O
x=1のとき, ①,② から
AT IS
B
(y+2)29, y-1
2015- N
これを満たす整数yは y=-1,0
点P,Qの
y=ax+bに関して
反対側にあるから、
一方がyax+b の表す領
x=2のとき, ①,② から
-2k)-5(k²-4)=-k²+20
1
(y+ 2)² <8, y
他方が y<ax+6の表す領!
にある。
接するとき, D=0であるから
=0 よって
k=±2√5
あるとき、接線②の切片は正
=-2√5
2k
5
4/5
X=
5
不等式x+y^>1の表す領域をQとする。
Pは直線x+y=√2の上側の部分であり、Q
x+y=1の外部である。
4/5
2/5
-k=
5
き最大値 4
2√5
5
のとき最小値 2√5
√12+12
x+y^2=1の中心(0, 0) と直線x+y=√2
の距離は
||-√2
直線x+y=√2 と円x+y=1の位置関係につ
考える
これを満たす整数yは
x=3のとき、 ①,②から (y+2)² <5, y≥0
これを満たす整数yは y = 0
したがって, 求める整数の組 (x, y) は
(-1,-2), (-1, -1), (-1, 0), (0, -1),
(0, 0), (1, 1), (1, 0), (2, 0), (3, 0)
y=0
条件を満たすのは, 2点P, Qのう
線y=ax+bの上側、 他方が下側に
ある。
=1
237(1) xy|1から -1≤x-y≤1
[x-y≧-1
よって
(x-y≤1
ゆえに
すなわち
y≦x+1
yx-1
よって
-1>a・1+b かつ 1 <a・2
または
「-1<a1+b かつ 1>a・
[a+b+ 1 <0
2a+b-1>0
または
これは円の半径に等し
い。
Q
y
P
ゆえに、直線と円は接
√√2
が表す領域をそれぞれP.
ることを示す。
する。
よって, P Q は図
のようになり
√2
ゆえに、求める領域は [図] の斜線部分である。
ただし、境界線を含む。
(2) x+2y|<8 ...... ①
x20,y20 のとき, ① は
x+2y<8
すなわち
SAS
すなわちy<-212x+4
1 0
す領域を P.
PCQ
領域を Q とする。
であり, Qは直線
である。
したがって,
x0,y<0 のとき, ① は
x-2y<8
すなわち1/24
x+y> √2 ならばx+y>1である。
236+y^2x+4y<4から
< 0, y20 のとき, ① は
-x+2y<8
すなわちy/2x+4
(x-1)+(y+2)<9
①
2y-x+30から
< 0, y<0 のとき, ① は
-x-2y<8
すなわち - 12/24
y>
[b<-a-1
16>-2a+1 3
または
[b>-a-1
Tab<-2a+1
したがって, 点 (a, b)
の存在範囲は [図] の斜
線部分である。 ただし, 境界
参考 f(x,y)=ax-y+b とお
直線 y=ax+b すなわち (
は2つの領域f(x, y) > 0.
られる。 P. Qがそれぞれ別
いので、次のように表すこと
