12 漸化式/誘導つき (置き換え )
数列{an},{bm}は,初項がα=1, b1=0であり,次の関係式を満たす.
an+1=5an+46m, bn+1=an+56m (n=1, 2, 3, ...)
(1) an+1+abn+1=β(an+abn) (n=1, 2, 3, ...) を満たす実数αとβの組を2つ求めよ.
(2) 数列{an}, {bm} の一般項を求めよ.
(3) 24を求めよ.
(徳島大 総科, エー後)
k=1
数列の置き換え 数列を置き換えて,一般項の求めやすい形にする. 等比数列に帰着できるような
誘導がついていることが多い. 典型題に慣れておこう.
連立漸化式 an+1=pan+gbn...... ア, bn+1=gan+pbn
イ の形の連立漸化式はノーヒントで
出題されることがある.これは,+から{ay+b,}, アイから{an-bn}が等比数列になり解決する.
解答
(1) n+1=5an+46n, bn+1=an+56m より,
an+1+αbn+1=(5an+46m)+α(an+5bw)=(5+α)an+(4+5a)bn
これがβ(an+abn) に一致すればよいので
5+α=β,4+5α = aβ
βを消去して, 4+5α=α(5+α)
よって, (α, β)=(2,7), (-2,3)
.. α2=4
α=±2
←一般に,このような連立漸化式は,
これを満たすα, β を求めること
で,一般項を求めることができる.
