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(1) 2つの整数 m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一覧
基本 例題 126 互除法の応用間題
本事項
以下では, a, ん
11次不定
の000。
ることを示せ。
(2) 7n+4と 8n+5が互いに素になるような 100 以下の自然数 nは全部で、
つあるか。
x,yの」
という。
1次不定
2つの費
指針> 最大公約数が関係した間題では、A.501 基本事項
AP.01 基本事項
(*)で示した、右の定理を利用して、 数を小さくし
ていくと考えやすい。
本間のように、整式が出てくるときは、 まず, 2つの
式の関係を a=bq+rの形に表す。 )
次に、式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。
faとbの最大公的
す整数
a=bq+r
解は、
等しい
bとrの最大公的間
2) Ta4と&n+5 b互いに煮→熱公約数が12tなればさい
|解答
解
く1次不
方程式
2数A, Bの最大公約数を、(A, B)で表す。
(1) u+ 2m+3»F0EM+n
2m+5n=(m+n)-2+n,
m+n=n·1+
よって
ら、
4差をとって考えてもよい。
3m+4n-(2m+3n)=m+n
2m+3n-(m+n)=m+2n
(3m+4n, 2mn+3n)= (2m+3n, "m+n)とはしぜい m+2nー(m+n)=n
解が
Dに
なぜ
左辺
がけない。
でい
=(m+n, n)=(n, m)
m+n-n=m
したがって、m, nの最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最
大公約数は一致する。
X。
方
3m+4n=a
別解
m=3a-46
のとおくと
mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。
のより,aとbはdで割り切れるから, dはaとbの公約数
2m+3n=b
n=36-2a
4m=dm'、n=dn"'、
a=ea', b=ebとする
である。ゆえに
dse………… 3
同様に,2より, eは mとnの公約数で
d(3m'+4n')=a
のは
d(2m'+3n')=b
e(3a'-46)=m
e(36'-2a')=n
eSd…… 4)
3, ④ から
d=e
よって,最大公約数は一致する。
(2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1).7-3
のは
1/は自然数
ゆえに
(8n+5, 7n+4)= (7n+4, n+1)= (n+1, 3)
n>0
17n+4と 8n+5は互いに素であるとき, n+1 と3も互いに
素であるから,n+1と3が互いに素であるようなnの個数
4a=bq-rのときも
(a, b)=(b, r)
が成り立つ。p.501 の解説
と同じ要領で証明できる。
ntlけ
AurL2n+1s101 0範囲に, 3の傍数は33個あるから, 求める
100-33=67(個)
nは(o0K下
自然数は
y lol-2tLoo
(00-:33
toC
