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基本例題116 割り算の余りの性質
a, bは整数とする。aを7で割ると3余り,bを7で割ると4余る。このとき,
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1) a+26
2019
(4) a
(3) a
(2) ab
p.485 基本事項I, 3
a=7q+3, b=7q'+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。
(3)(7q+3)'を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。a^=(a^)? に巻日
し、まず, a° を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
(4)割り算の余りの性質4 α"をm で割った余りは,r"をm で割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは「32019 を7で割った余り」であるが,3019 の計算は不可能
このような場合,まず α"を mで割った余りが1となるnを見つけることから始める
のがよい。
指針> 前ページの基本事項 (3]の割り算の余りの性質 を利用してもよいが,(1)~(3) は、
A=BQ+Rが基本
CHART割り算の問題
(割られる数)=(割る数)× (商)+(余り)
解答
別解 割り算の余りの性質を
利用した解法。
(1) 2を7で割った余りは
2(2=7-0+2)であるから,
26を7で割った余りは
2.4=8を7で割った余り1
に等しい。
ゆえに,a+26 を7で割っ
た余りは3+1=4を7で
割った余りに等しい。
よって,求める余りは 4
(2) ab を7で割った余りは
3.4=12 を7で割った余り
に等しい。
よって,求める余りは 5
(3) を7で割った余りは
3=81 を7で割った余り
に等しい。
よって,求める余りは 4
a=7q+3, b=7g'+4 (q, q'は整数)と表される。
(1)a+26=7q+3+2(7g'+4)=7(q+2q')+3+8
=7(q+2q+1)+4
したがって,求める余りは
(2) ab=(7q+3)(7g'+4)=49qq'+7(4g+3q')+12
=7(7qg'+4q+3q'+1)+5
したがって,求める余りは
(3) a=(7q+3)°=49g°+42q+9=7(7q"+6q+1)+2
よって,a'=7m+2(mは整数)と表されるから
a*=(a)°=(7m+2)?=49m*+28m+4=7(7m'+4m)+4
したがって,求める余りは
(4) α°を7で割った余りは, 3° を7で割った余り6に等しい。
よって,(α°)=aを7で割った余りは, 6°=36 を7で割った
余り1に等しい。
a2019-a2016g=(a°)**.a°であるから, 求める余りは,
1336.6=6 を7で割った余りに等しい。
したがって, 求める余りは
4
5
4
336
6
