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64
2
あるか
も
4=8
いよ
数を
79 方程式の共通解
重要 例題
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0 がただ1つの共通の実数
解をもつように、 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。
SOLUTION
CHART O
方程式の解
x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ
2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した
2a²+ka+4=0,a²+α+k=0 が成り立つ。これを α,k についての連立方程式
とみて解く。 実数解という条件に注意。
解答
共通解を x=α とすると
2a²+ka+4=0
.. 1,
①②×2 から (k-2)α+4-2k=0
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
......
a2+a+k=0 ...... ②
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
よって
ゆえに
[1] k=2 のとき
2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。
その判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D<0 であり,実数解をもたないから, k=2は適さない。
[2] α=2 のとき
② から 22+2+k=0
このとき2つの方程式は
2x²-6x+4=0
ゆえに
......
k=-6
x2+x-6=0
1',
②' の解はx=2, -3
よって,確かにただ1つの共通解x=2をもつ。
となり,①'の解はx=1, 2
[1],[2] から
k=-6, 共通解はx=2
|基本 75
......
◆x = α を代入した①と
②の連立方程式を解く。
◆ α² の項を消す。
125
◆共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
逆を調べ十分条件で
あることを確かめる。
ROO
tax²+bx+c=0 の判別
式はD=62-4ac
②2(x-1)(x-2)=0,
(x-2)(x+3)=0
INFORMATION
この例題の場合,連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針でα² の項を消
去したが、この方針がいつも最も有効とは限らない。
下の PRACTICE 79 の場合は,定数項を消去する方針の方が有効である。
PRACTICE... 79④
の方程式x^2-(k-3)x+5k=0, x2+(k-2)x-5k=0がただ1つの共通解をもつ
3章
2次方程式