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重要 例題 73
中線定理の利用
四角形ABCD の対角線 BD, AC の中点をそれぞれ M,
Nとすると
AB2+BC2+CD+DA=AC+BD2+4MN2
であることを証明せよ。
共
A
D
M
B
p.363 基本事項
CHART & SOLUTION
( 線分)の問題
中線があれば中線定理
△ABD (中線 AM), △CDB (中線 CM), MCA (中線 MN)
に中線定理を適用して, 証明すべき等式を導けばよい。
B
M
線分AMは△ABDの中線
D
△ABCの辺BC の中点を
とすると
答
中線定理
△ABDに中線定理を適用して
D
AB2+AD2=2AM2+2BM2
A
①
△CDB に中線定理を適用して
M
Z
CD2+CB2=2CM2+2BM 2
①+②から
AB2+BC2+ CD2+DA 2
②
B
=2AM2+4BM2+2CM2
ここで,MCAに中線定理を適用して
ゆえに
MA2+MC2=2MN2+2AN 2
AB2+BC2+CD+DA2=2(AM2+CM2)+4BMA
=2(2MN+2AN2)+4BM2
=4AN+4BM + 4MN?
=AC2+BD+4MN2
AB2 + AC2
=2(AM2+BM2)
N
補助線 AM, CM, MN を
引くとわかりやすい。
inf.
BN, DN,
MN を引き, BCA,
△DAC, NBD に中線定
理を適用しても証明できる。
■4AN2=(2AN)=AC2
4BM2-(2BM)2=BD²