そこで,a>0, 6>0を満たす数a=1, b=3を代入してみると
CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する
指針>4つの式の大小を, 2つずつ (4C2=) 6 通り全部比較するのは面倒である。
多くの式の大小比較
a°+6°
の大小を比較せ。
基本 26,28.3)
a>0, b>0, aキb のとき,
2ab
a+b
Vab,
2
2
atb'
a+6?
2 V5
2ab
3
a+b
2
=2, Vab =V3,
atb
2?V
であると予想がつく。
2
よって,
a+b
2ab
<vab<eto
a+6°
2
この予想をもとに, 2つずつ大小関係を決めていく。
条件
解答
Vab (a+6-2、ab)
atb
Vab
2ab
Vab (a+b)-2ab
Aab=(Vab)
a+b
号成場
4Vab>0, a-5キ0
ら(a-5>0
a+b
Vab(a-Vb)°
次の2つか
a+b
2ab
よって
Vab>
a+b
a+b
>Vab
2
し
9の
Aaキbから,等号不成」
Daキbと(相加平均)2(相乗平均)により
2
a+6°
4「を含むから, 平方
atb
>0
三
2
2
4
4
を比較。a-bキ0
a+6°
a+b
>0から
a°+6°
22+6
2
2
3
2
2
2ab
α'+6°
く。
2
a+b
の~3から
のだろ
たい
海し
(aキbのとき。
a+b
2
参考 上の例題において, a=bのときは, ①, ②, ③ それぞれで> を = におき換えた等
のときい
り立つ。すなわち
a=bのとき
2ab
=Vab =
a+b
a+b
2
a+6°
三
ニー
2ab
の
2
また。
a+b
2
1
は逆数の相加平均の逆数である。これを 調和平均 という。
1
a
b
ー 0< 0<x
上の例題の結果と④から, 一般に, a>0, b>0に対して次のことが成り立つ。TCS
(調和平均)<(相乗平均)<(相加平均) (等号が成り立つのはq=h?
linl _nN
