Question

M

大学への数学の数列で、演習問題の⑶の後半が、回答を読んでもよく分からなかったので、解説していただきたいです、。解答と違う考え方でも全然大丈夫です。

013 演習題(解答は p.77)
次の漸化式によって定義される数列 {an} (n=1, 2, …) について, 次の問いに答えよ.
a=4, azn=0
1
C2n-1+n*, azn+1=4a2n+4(n+1)
4
(1) 2, a3, a4, asを求めよ。
(2) a2n, azn+1 を nを用いて表せ。
CS.1-
(2
に着
(3){an}の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, ao,
ら…
aロ, ao, Qo である。
(類 松山大·薬)
68
こ3

Cg-1
1
a-1
b,=
より,,=-
2
2
(3) n, n+1, n+2のうちに3の倍数があるので,
1
5
n(n+1)(n+2)は3で割り切れ,
2
m=D1
28+4
(n+1)(n+2)は整数となる。
2
a2ォ=
たより。(b)の公比は
an-1
だから,
2a+4
5
このとき2より, a2n+1は 4 の倍数. a,も4の倍数.
22
2%
次に a2n が4の倍数になる条件を調べる。
D
1
5%
って4=/
Cyt
2
3と4は互いに素であるから,
42n が4の倍数 → n(n+1)(n+2)が4の倍数
ot. Pla-1)-a(at})
『ー2)=5+2。
ここで,整数nに対して, n=0, 1, 2, 3 (mod 4)の
いずれかである. これらのときを調べると,
5"+2"-1
57-2
4=0(mod 4), 1-2-3=6=2 (mod 4) より,
ra,ts
注 一般に,an+1=
(bs-qrキ0)に対して,
pantq
n
0123
n(n+1)(n+2)= 0 2 0 0
三
『r+s
『ニ
prtq
が異なる2解α', B'を持つとき,
よって,azn が4の倍数でないのは,
n=1(mod 4),つまり,
nを4で割った余りが1のとき(1, 5, 9, 13, …)
-dと-B'が本間のa, Bに相当するものである。
(13)(2) 42n+1 を a2n-1 で表して,初めに a2n+1 を
末めることにする.(3) n(n+1)(n+2)が4の倍数
となる条件を考える。合同式(本シリーズ「数A」p.69)
が有効。4で割った余りで分類して調べればよい。
を用
である。答えは, az, ai0, a18, a26-
こす
+1
02nーー2n-1
14)(2) an+1?ーかを式変形して, a,?-pと結び
+1
つける。
02n+1=402n+4(n+1)
(3) a?-15=(an-V15 ) (an+/15 )として,
(1) 4=4とのより,az2=-4+12=2
1
-0
an-V15 SA(Aは定数)の形に変形して不等式を作る。
4
これと②より,as=4-2+4·2=16
このとき,antV15 の方はざっくりと見積ってよい。
ー16+2°-8
(2) @にDを代入すると
a=
4
a;=4-8+4·3=44
解 a>/p……0, an+1=
(1) Oより, n=1のとき anこくp は成り立つ。
O2より帰納的に an>0だから, ②および
相加平均之相乗平均 より,
Q2n+1=4
2月-1十n?)+4(n+1)
=42n-1+4(n?+n+1)
よって,[階差型]
1
An+1=
2
よって, n22のときも anカは成り立つ。
(2) のより,
n+1=a+(ag-a) + + (azm+1-a2n-1)
4+2(024+1-424-1) =4+ 24(?+k+1)
い。
ーター(ー
k=1
2.
an+1
p=
+(カ+1) (2x+1)+4号が(ガ+1)+4m
a,-2pa,?+p?
4a,?
-(an?-p)?… ③
4a,
1
|2
(am?-p)?
4p
1
ミ
(1)より a,?2pだから, ③s-
のより
: 4n+1?-pS(a,?-p)?
4p
-4(n+1)}-}のい-(n+1)
これを繰り返し用いて,
(n+1)(2+2z+3-3)=}»(n+1) (n+2)
77

Answer 1

まーちゃん

がんばれ~

Answer 2

さい先生

わかりにくい書き方ですね。
表は、こんな感じで考えています。