重要 例題 96
複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。
S
(1)α*+α°+α2+α+1=0 であることを示せ。
200
00
(2) (1) を利用して, t=α+α は t2+t-1=0を満たすことを示せ。
2
(3)(2) を利用して, cos 1/3 の値を求めよ。
5
CHART & SOLUTION
1の5乗根α α=1 を満たす解
(1) 因数分解 x-1=(x-1)(xn-1+xn2+....+x+1)を利用。
(2) α5=1 のとき, |a|=1⇔ |α=1⇔|a|=1 (|α|は実数)
(3) α5=1の1つの虚数解を α=cos 12/23 nisin 2/23 とおいてみる。
解答
(1) α5=1から α-1=0
よって
(a-1)(a+α°+α2+α+1)=0
5
α≠1 であるから a² + a³+a²+a+1=0
(2) α=1 から |a|5=1
よって |a|=1
よって α=
a=1
a
ゆえに |α|2=1 すなわち aa=1
したがって, t=α+α から
253 f²+t−1=(a+a)²+(a+a)-1= (a+12)² + (α + 1) −1
[類金
TA
|a|=1 のとき
別解 (1) α≠1
数列の和の公式が
=
1+a+a+a³
.5
1-a5 1-1
=
1-a 1-a
2
1
