例題8
二項係数と倍数
1
章
mを正の整数とするとき, 次の問に答えよ。
(1) 二項係数の和 m Co+ mCi + m C2+· + m Cm-1 + m Cm を求めよ。
2 m が素数であるとき,1ハをハm-1 を満たす整数 kに対してm Ck は
m の倍数であることを示せ。
mが素数であるとき, 2"-2はmの倍数であることを示せ。(関西大)
1金)
例題6
(®Action 二項係数の和は, (1+x)” の展開式を利用せよ
m!
(2) mC。
がmの倍数=→ mCk = m× (整数)の形に変形する。
D
(3) 前問の結果の利用
1公)
も。
(1)を利用すると
に(2)を利用
2"-2= (mCo+Ci+ mC+ … + Cm-1+mCm) -2
これが m×(整数)の形に変形できることを示す。
二項定理を用いて
(1+x)" を展開する。
解 (1)(1+x)" ="CotmCix+ mCar +……+Cm-1X"-1 + m Cmx"
x=1 を代入すると
m Co+ m Ci+mC2+ +mCm-1+ m Cm = (1+1)” = 2"
(2) 1<k<m-1 を満たす整数えに対して
-10
例題
6
m!
m
m×(整数)の形にするた
めに,mでくくり出す。
1SkSm-1 であるこ
とに注意する。
C
ニ
k(k-1)!{(m-1)- (k=1)}!
m
m
m-1Ck-1
k
この式はよく用いられる。
p. 26 Play Back 1参照。
よって
km Ck = mm-1 Ck-1
ここで,mC, ミ-1 C&-1 は整数であり,また,mは素数
であるからmとんは互いに素である。
したがって,m Ce は mの倍数である。
91<k<m-1 である
ことに注意する。 ()
0
1!
- 整式·分数式の計算
思考のブロセス
