PRACTICE… 102® 点A(-1, 0) を通り, 傾きがaの直線を!とする。放物線
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重要例題 102 放物線の弦の中点の軌跡
03
{OOO)
直線 y=mx が放物線 y=x°+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。
(1) mのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 線分 PQの中点 M の軌跡を求めよ。
(改 星薬大)
「基本 100
CHART OSOLUTION
条件を満たす点の軌跡
つなぎの文字 m を消去し, x, yだけの関係式を導く
具なる2点で交わる
→ yを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつ → D>0
(2) 中点の座標を解と係数の関係を利用して mの式で表す。 このmを消去し
て軌跡の方程式を求める。ただし, (1)の条件から軌跡の範囲を調べる。
3章
解答
. ①, y=x°+1
13
(1) y= mx ……
② とする。
0, 2からyを消去すると
mx=x°+1 すなわち x°-mx+1=0
3の判別式をDとすると D=(-m)-4=(m+2)(m-2)
直線のと放物線②が異なる2点で交わるための条件は
や直線のと放物線② が異
なる2点で交わるとき,
2次方程式3は異なる
2つの実数解をもつ。
D>0
したがって,求める mの値の範囲は m<-2, 2<m
(2) 2点P, Qのx座標をそれぞ
れa, Bとすると, α, Bは③の
異なる2つの実数解であるから,
解と係数の関係により α+B=m
したがって, 線分 PQの中点M
の座標を(x, y)とすると
の
Q
M,
P
0
(α+B)
tat8 x
合点Mは直線①上の点。
m
x=
ソ=mx
2
2
2
上の2式から mを消去して
y=2x°
*m=2x をのに代入し
て 2xく-2, 2<2x
よって xく-1, 1<x
より く-1, 1<祭であるから
m
2
2
よって,求める軌跡は
と考えてもよい。
放物線 y=2x の x<-1, 1<x の部分
2 と直線!は, 異なる2点P, Qで交わっている。
)傾きaの値の範囲を求めよ。
ソミ
2) 線分 pO の中占Rの座壇を』を用いて表せ。
「結公士)
軌跡と方程式
