黄色チャートより出題の問題です。 なぜCの部分だけ問題文に載っている数より-3引かれているのでしょうか（A∩CとB∩C）。

八要 例題 10 グループの人数と集合 (3つの集合) 人は13人,C市に行ったことのある人は 30 人であった。 B市とC たことのある人はx人A市とC市に行ったことのある人は9人 市に行ったことのある人は10人であった。A市とB市とC市に行ったこと のある人は3人, A市にもB市にもC市にも行ったことのない人は 28人であ ● 基本 3, p. 275 STEP UP | った。このとき、xの値を求めよ。 解答 全体集合をひとし, A市, B市,CU (100)・ 市に行ったことのある人全体の集合 を,それぞれA, B, C とする。 28 右の図のように, 要素の個数 α, bを 定めると CHART & SOLUTION 集合の応用問題 DUSUA をかいて 1 順に求める 2② 方程式を作る ②21の方針で解く。図において分割される各部分集合の要素の個数をかき込んでいく。 そして,残った部分の要素の個数をa, bとおいて考える。 ① JA-SUG AD=SU 6 B(13) a+(x-3)+3+6=50 b+(x-3)+3 +7=13 a+b+14+(x-3)+7+6+3+28=100 これらの式を整理すると a+x=44 a+b+x=45 6-751 ...... x-3 ①. b+x=6 -A (50) a 7 ..2, 1 から a=44-x 2 から b=6-x これらを③に代入して整理すると -x+50=45 って x=5 ある こ。A市とB市に行っ 6 14 €(30) DOO (8)x+(N=(SUA). $300-101 PERTINE n (A∩B∩C) から要素の 個数をかき込んでいく。 n(A)=50 ←n (B)=13 n(U)=100 500人) 1 %/ の C 3 F

別解の解き方でこのように解いたのですが、kの値が6こ出てきてしまいます。33を代入した解き方で答えを出す方法を教えてください。お願いします

124 1次不定方程式の自然数解 基本例題 等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は xが2桁で最小である組は (x,y)=(イコウ[ BETAL CHART O SOLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む 「x, y が自然数」すなわち x1,y≧1 (あるいは x>0,y>0)という条件を利 用して、最初から x,yの値の範囲を絞り込むとよい。 解答 「2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち 2x=3(11-y) 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。 ① において、y≧1 であるから 11-y≦10 2x≦3.10=30 更に, x≧1 であるから 1≤x≤15 ②③から x=3,6,9,12,15 ゆえに,等式を満たす自然数x,yの組は ア5組 それらのうち xが2桁で最小である組は 別解 x=0,y=11 は, 2x+3y=33 であるから ①②から すなわち 別解 基本例題 122 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で,x, by が自然数になるように絞り込んでもよい。 10でもでもダメ!! 2.0+3・11=33 2x+3(y-11)=0 2x=-3(y-11) と表される。 x≧1,y≧1 であるから 1 3 4041 2と3は互いに素であるから, ① のすべての整数解は x=3k,y=-2k + 11 (k は整数) |組ある。 それらのうち である。 [福岡工大] るこからは分かっているから ることを入れて大を求める!! (2) (x,y)=(112,3) ① の整数解の1つ 3k≧1, -2k+11≧1 ≤k≤5 kは整数であるから ゆえに, ① を満たす自然数x,yの組は75組 k=1,2,3,4,5 xが2桁で最小となるのはk=4 のときであり, このときの組は (x,y)=('12,3) 基本 122 3110 重要 125 11-yは2の倍数である からyは奇数。 こちら から絞り込んでもよい。 ◆それぞれのxに対して yは自然数になる。 2x=33-3y =3(11-y) と変形してもよい。 ←-2k-10 から k≤5 不等号の向きに注意。 ◆xが2桁のとき x=3k≧10 429 4 15 ユークリッドの互除法

[2]なぜ、qは偶数なんですか？

188 重要 例題 113 素数の性質の利用 (1) n²-12n+27 の値が素数となるような自然数n をすべて求めよ。 (2) a,bを, a < b を満たす自然数とするとき、a+b=p,ab = g を満たす ⓒp. 174 基本事項 3 素数p, g を求めよ。 CHART & SOLUTION 積が素数となる条件 ① 素数』の正の約数は1とかのみ (1)a,bを整数, pを素数とするとき 0<a<bab=pならば α=1,b=p(小さい方が1) a<b<0, ab=pならばa=-p, b=-1 (大きい方が-1) n-12n+27=(n-3)(n-9) が素数のときは,n-3とn-9がともに正の場合と,とも に負の場合がある。 解答 (1) N=n²-12 n +27 とすると (2) 積が素数(ab=g) の条件とa<bから,aとbが決まる。 また, 偶数の素数は2だけ であることを利用する。 , g の偶奇に注目。 N=(n-3)(n-9) [1] n-3>n-9> 0 すなわち n >9のとき Nが素数となるとき n-9=1 よって n=10 このとき, n-3=7から N=7 となり,適する。 [2] n-9<n-3 <0 すなわち 1≦n <3 のとき Nが素数となるとき n-3=-1 よって n=2 このとき, n-9= -7 から N=7 となり、適する。 [1], [2] から 求める n の値は n=2, 10 (2) ab=g と α<bから a=1,b=g a+b=p に代入して p=g+1 A でありとの偶奇は異なるから p=2+1=3 よって p=3 は素数であるから,条件を満たす。 したがって、求める素数 p q は 00000 PRACTICE 1120 ② 偶数の素数は2だけ g=2 p=3, q=2 まず N を因数分解。 n-3, n-9がともに 正の数なら小さい方が1, ともに負の数なら大き い方が-1 7 は素数 nは自然数だから n ≧1 1≦n<3を満たす。 ■ 7 は素数。 ◆素数αの正の約数は 1 とgのみ p-g=1 (奇数) である から,pgの一方は奇 数で,もう一方は偶数。

高校2年数学です。 （2）の［2］はどのような計算で求められたかが分かりません。使う式には線が引いてあります。 解説をお願いします🙇‍♀️🤲🏻

dern Casti それぞれ あてはめる! 454 Pro 重要例題 96 円x2+y2=1 を求めよ。 CHART & SOLUTION 円の接線 中心と接線の距離 d=円の半径r 求める直線をy=mx+n とおいて, 2つの円に接する条件を考える。 接点重解よりも d=r の方がスムーズ。 link. 円 ①上の点における接線が円 ② とも接するから, 円 ②の中心と、この接線の距離 円 ② の半径に等しいとして解く方法もある。 (解答編 p. 118 PRACTICE 96 別解 参照) よって 解答 manを求めていこう!! 2つの円 ①, ② に共通な接線はx軸に垂直ではないから, 接 線の方程式をy=mx+n すなわち mx-y+n=0...... ③ 2つの円の共通接線 ① と円 (x-4)2+y2=4 とする。 直線 ③ が円 ① と接するとき, 円 ①の半径は1であるから Im 0-0+nl. √m²+(-1)² \n\=√m² +1 (4) 直線③が円②と接するとき円②の半径は2であるから Im•4-0+n/ =2 √m² + (−1)² |4m+n|=2√m²+1 よって ④,⑤から14m+n|=2|n| よって [1] 4m=n のとき ④ から m=± √15' 4m=n または 4m=-3n . 2 n=± [2] 4m=-3n のとき 3 ④ から m=±- √T よって, 求める接線の方程式は ゆえに 4m+n=±2n 4 √15 V/A (複号同順) n=F₁ (複号同順) に共通な接線の方程式 基本92 y=±- =(x+4), y=±- √15 +√7 (3x −4) 17 PRACTICE 960 円 (x-5)2+y^=1 と円 x+y=4 について (1) 2つの円に共通な接線は全部で何本あるか。 (2) 2つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。 bo 12 ←|A|=|B|⇔A=サ ←|4m|=√m²+1 から 両辺を2乗して 16m²=m²+1 よって m²= 15 E ■求める接線は4本ある。 77

なぜ1番目が1のときが無いのですか??

288 重 要 例題 20 完全順列 書いた封筒を作成した。 招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあ 5人に招待状を送るため、 あて名を書いた招待状と,それを入れるあて名を [武庫川女子大〕 基本4 るか。 CHART & SOLUTION 完全順列 樹形図利用 列という。 5人 1 2 3 4 5 とし, それぞれの人のあて名を書いた封筒を ①, ②. 3. 1からnまでの数字を1列に並べた順列のうち、どのk番目の数もでないものを完全順 k k (k=1,2,3,4.5) ⑨⑤; 招待状を 2 13 14, [5] とすると, 問題の条件は よって、1から5までの数字を1列に並べたとき, k番目がk でない完全順列の総数を求め ればよい｡ 解答 5人を 1,2,3,4,5とすると 求める場合の数は、1から5 までの数字を1列に並べたとき, 番目がk(k=1,2,3,4, 5) でないものの総数に等しい。 1番目が2のとき, 条件を満たす順列は,次の11通り。 1-5-4 2-19 4-5-3 5-3-4 2-4 1-5-3 1-3 3-1 1番目が3,4,5のときも条件を満たす順列は,同様に11通り ずつある。 よって、求める方法の数は 11 × 4 = 44 (通り) 2-3-4-5-1 5-1-4 1-3-4 5 2-54 1-3 3-1 1番目が2である 2番目は残りの1 5のいずれであっ 完全順列の条件 す。 2番目が3 きは、3番目が ないように注意

なぜXとYの式を√2（X-Y）=（X+Y）²に代入すると、曲線Aを原点を中心としてπ/4だけ回転させてできる曲線の方程式が求まるのですか？？

358 重要 例題 234 回転移動を利用して面積を求める fix √ 2 (x-x) = (x + y)² 281 82 8 (1) 曲線 A を原点Oを中心としてだけ回転させてできる曲線の方程式 (2) 曲線 A と直線x=√2 で囲まれる図形の面積S CHART SOLUTION (1) 重要例題 47 と同様に, 複素数平面上の点の回転 を利用する。 曲線 A 上の点 (X,Y) を原点を中心 解答 (1) 曲線 A 上の点(X,Y) を原点を中心としてだけ回転し た点の座標を(x,y) とする。 複素数平面上で, P(X+Yi), Q(x+yi) とすると, 点Qを原 点を中心としてだけ回転した点がPであるから X+Yi={cos(-x)+isin(-x)(x+ (x+yi) としてだけ回転した点 (x, y) に対し, X, Yを それぞれx,yで表す。 (2) 図形の回転で図形の面積は変わらないことに注目。曲線 ともに原点を中心としてだけ回転した図形の面積を考える。……… これは,直線x=√2を原点を中心としてだけ回転した 直線の方程式である。 PRACTICE 00000 直線x=-y+2 と曲線 x=y2 の交点のy座標は, -y+2=y2 から (y+2)(y-1)=0 ゆえに y=-2, 1 よってS=S(-y+2-y") dy=-S_(y+2)(y-1) dy --(-)-(-2²- (X, Y) = 20.10 重要 47, 基本 226 9 今回転 =(x,y) 回転 これから x = 1/12 (x+y)...①, Y=- √( =(-x+y) これらを√2(XY) =(X+Y)2 に代入すると2x=(√2y) X-Y=√2x, すなわち x=y² これが求める曲線の方程式である。 (2) ①をX=√2 に代入して整理すると x=-y+2 X+Y=√2y 直線x=17 YA I O D x=-y+2 ← S²(y-a)(y-B)dy=-(B-2² 88 6 重要 極方和 が通 式み が通 CHA 解 曲線 綾

黄チャート(I＋A)基本例題109(2)の模範解答マーカー部分が何をしているのか、なぜそうなるのか全く分かりません 数学が苦手な自分にも分かりやすく解説していただけると助かります💦

178 基本例題 109 (1) 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (ア) sin240°+ sin²50°=1 等式 COS 90° 90° れか (イ) tan 13°tan77°=1 ( 2 △ABC の ∠A, ∠B, ∠Cの大きさを, それぞれA, B, Cで表す。 A+B -=sin no が成り立つことを証明せよ。 2 の三角比の利用 の三角比の利用 解答 CHART & SOLUTION 90° -0の三角比 sin (90°-0) = cosb, cos (90°-0) = sin0, tan (90°−0)=1 (1) (ア) 40°+50°=90° (イ) 13°+77°=90°に着目。 (2) A,B,Cは三角形の3つの内角→ A+B+C = 180° よって, A+B_180°-C. 2 ③ p.174 基本 tank 180°C=90°Cとなり、90°の三角比の公式が使える。 = Cal 頂形 (1 (2 C 0

高校一年数学です。 黄色線からどうやって赤線に出来るのかが分かりません。 解説お願いします🙇‍♀️🤲🏻

要 例題 57 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax+6が(x-1)で割り切れるとき,定数a,b の値を求め よ。 (2) 2以上の整数とするとき, x”-1 を (x-1)2で割ったときの余りを 求めよ｡ [学習院大 ] CHART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用 1 次数に注目 ② 余りには剰余の定理 (1) (x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)2Q ⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 TEX (2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α=1,6°=1 である。 a"_b"=(a-b)(a-1+α-26+α-362+..+ab-2+6n-1) 解答 (1) f(x)はx-1 で割り切れるから (1) よって 1-α+6=0 したがって f(x)=x-ax+α-1 ゆえに b=a-1 g(x)=x2+x+1-α とすると ゆえに =(x-1)(x2+x+1-a) 両辺に x=1 を代入すると 0=a+b pe 10=(1)ƒ よって -SI-1-AS-8-5-0- 03025 g(1)=0 a=3 よって 3-α=0 これを①に代入して 6=2 (2) x-1 を2次式(x-1)^2で割ったときの商をQ(x), 100), 3 りをax+b とすると,次の等式が成り立つ。 -XS- x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b ........ b=-a ゆえに x"_1=(x-1)2Q(x)+ax-a 200 =(x-1){(x-1)Q(x)+α} た閉 x-1=(x-1)(xn-1+xn-2+......+x+1) であるから xn-1+xn-2+..+x+1=(x-1) Q(x)+α 両辺に x=1 を代入すると 1+1+ ······ +1+1= a よって a=n ゆえに b=-a=-n) (s したがって、求める余りは nx-nNTJA 00g PRACTICE 57⁰ (1)a,bは定数で, xについての整式xxth 1 0 -a 1 1 11 基本 53 a-1 1 -α+1 -a+l 20 ←条件から,g(x) もx-1 で割り切れる。 割り算の基本公式 A=BQ+R (x-1)2Q(x)+α(x-1) 1 x 1 1 = x であるから、 左辺 の項数はxから タートま でのn個 -)+bx[

チャート式からの問題です。 このsin50°をcos40°にするのは分かるのですが、それでなぜ等式が成り立つことの証明になるのかが分かりません。 誰かわかる方がいれば、教えて下さい。

-78 基本例題 109 90°-8の三角比の利用目の出費 8 (1) 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (ア) sin²40°+sin²50°=1 (イ) tan 13°tan77°=1 (2) △ABC の ∠A, ∠B, ∠Cの大きさを, それぞれA, B, Cで表すとき、 W 等式 COS A+B 2 C = sin / が成り立つことを証明せよ。 CHART & SOLUTION 90° -0の三角比 sin (90°-0)=cos0, cos (90°-0)=sin0, tan (90°-0)=- (1) (ア) 40°+50°=90° (イ) 13°+77°=90° に着目。 (2) A,B,Cは三角形の3つの内角→ A+B+C=180° よって, A+B 180°C 2 2 COS 解答 $ $ (1)(ア) sin50°=sin (90°-40°= cos 40° であるから sin240°+sin250°=sin240°+cos240°=1 (イ) tan77°=tan(90°-13°)= tan 13°tan 77°=tan 13° (2) A+B+C=180° であるから よって A+B 2 -=COS -=90°. となり、90°-0の三角比の公式が使える。 2 180°C 2 tan 13° tan 13° であるから A+B=180°-C 00000 = cos (90°) = sin 2 INFORMATION 1PかQの一方を変形して,他方を導く。 2 P-Qを変形して, 0 となることを示す。 3PとQのそれぞれを変形して,同じ式を導く。 上の例題では,(1), (2) ともに1の方法によって証明している。 010 p.174 基本事項 3 tan0 sin(90°-8)=cost sin20+cos'0=1 COS tan (90°- 0)=¹ tan6 ( 90°-9) = sin0 等式 P=Qが成り立つことの証明方法 (数学ⅡI) P=P'=......=Q P-Q=P'-Q'=………=0 P=P'=...=R, Q=Q1=...=R|

［1］なぜ4分の5πで答えてはいけないんですか？ なぜわざわざ4分の3πに直す必要があるんでしょうか？ 教えてほしいです

50 基 本 例題 28 線分のなす角,平行・垂直 00000 a=-1, β=2i,y=a-i とし,複素数平面上で3点をA(α),B(B),C(y) とする。 ただし, a は実数の定数とする。 (1) a=— =-2のとき,∠BACの大きさを求めよ。 (2) 3点A,B,Cが一直線上にあるようにaの値を定めよ。 (3) 2 直線 AB, AC が垂直であるようにaの値を定めよ。 CHART SOLUTION 共線条件 垂直条件 (1) ∠BAC= arg r-a β-α 解答 r-a β-a (2) r-a B-a から B-a の値に着目 [ y-a β-α したがって <BAC=|-2|= 01/30 TC を計算し、 極形式で表す。 が実数 (∠BAC=0 または ² ) (3) - が純虚数(∠BAC-12/2) r-a β-α 本形を使うことで、回転前もわかる! (3-1)-1 #1 i y-a_(a-i)-(−1)_(a+1)-i 2i-(-1) 1 (1-3i)(1-2i) 1+2i 3 (1+2i)(1-2i) (1) y=q=2i- (-1) B-a √2 2 - (-1-1)-143² (-1/2-1/2 1)-3 (cos(-x)+sin(-3)} COS 1+2i _{(a+1)-i}(1−2i)(a-1)-(2a+3)i (1+2i)(1-2i) 3点A,B,Cが一直線上にあるための条件は, ① が実数と 2a+3=0 なることであるから よって 3 p.41 基本事項 (3) 2直線AB, AC が垂直であるための条件は, ① が純虚数 α-1=0 かつ 2a+3= 0 となることであるから よって a=1 a=- わざあざ余る気を 使う必要なし!! 分母の実数化 <BAC= |arg/13- r-a B-a ◆z=x+yi (x, y は実数) において y=0z は実数 x=0 かつy=0 PRACTICE... 28 (1) 複素数平面上の3点A(-1+2i), B(2+i), C (1-2i) に対し, ∠BACの大きさを求めよ。 (2) α=2+i,β=3+2i, y=a+3i とし, 複素数平 とする。ただし、a は実数の (ア) 3 点 A ⇒2は純虚数 ■2a+30 を満たす。 基 C