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COULEUR
安 例題 102 放物線と円の共有点・接点
放物線y=x2+αと円x2+y2 = 9について,次のものを求めよ。
(1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
[別解y=x2+a と x2+y2=9 から x2 を消去すると
y'+y-a-9=0
-3≤y≤3
また,x2=9-2≧0から
ここで, x2+y2=9から
y=-3,3であるy に対してxはそれぞれ1個(x=0)
3<y<3である yに対してxは2個
T
重解
定まる。 したがって
(1) 放物線と円が接するのは,次のいずれかの場合である。
[1] ① がy=3またはy=-3を解にもつ
[2] ① が-3<y<3の範囲に重解をもつ
32+3-a-9=0 から a=3
(−3)+(-3)-a-9=0から a=-3
[1] のとき
[2] のとき, 前ページの解答 (1) [1] と同様にして
37
したがって
a=±3,
4
-
(2) 放物線と円が異なる4個の交点をもつのは, ① が-3<y<3
の範囲に異なる2つの実数解をもつときである。
a>
よって,次の [1]~[3] を同時に満たすαの値の範囲を求める。
なお,f(y)=y^+y-a-9 とする。
[1] ① の判別式をDとすると D>0
よって, 4a+37> 0 から
[2]軸について-3</1/23 <3
[3] f(3)=3-a> 0 から
a=-
a<3
a<-3
37
4
37
4
37
4
これは常に成り立つ。
(3)
f(-3)=-3-a> 0 から
~④ の共通範囲を求めて
参考 ① から y2+y-9=a
ゆえに,g(y)=x2+y-9として, -3≦y≦3におけるz=g(y)
のグラフと直線z=a の共有点を考えて解いてもよい。
37
‐<a<-3
gl(y)=(y+1/22-274 であるから,右の図より
(1) z=g(y) のグラフと直線z=αが接するか, 共有点のy座
標がy=±3となる場合を考えて
a=±3, -37
(2) z=g(y) のグラフと直線z=αが, -3<y<3の範囲に異
なる2つの共有点をもつ場合を考えて-3<a<-3
(1)
y-3<y<3
(1)
(2)
(1)
3
yi
-3₁ 0
<xについて重解。
My について重解。
< ① に y=3 を代入。
2/ 3 x
① に y=-3 を代入。
定数 α を右辺へ移項。
z=g(y) 42
23
1-3
At
W 10
13
3y
-3
-9
37
4
直線z=a を上下に動かして
判断する｡
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3章
16
円と直線
