Question

ℎ

青チャートIIの円と直線の質問です。何故共有点のy座標がy＝±3となる場合を考えるんですか？

COULEUR
安 例題 102 放物線と円の共有点・接点
放物線y=x2+αと円x2+y2 = 9について,次のものを求めよ。
(1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
[別解y=x2+a と x2+y2=9 から x2 を消去すると
y'+y-a-9=0
-3≤y≤3
また,x2=9-2≧0から
ここで, x2+y2=9から
y=-3,3であるy に対してxはそれぞれ1個(x=0)
3<y<3である yに対してxは2個
T
重解
定まる。 したがって
(1) 放物線と円が接するのは,次のいずれかの場合である。
[1] ① がy=3またはy=-3を解にもつ
[2] ① が-3<y<3の範囲に重解をもつ
32+3-a-9=0 から a=3
(−3)+(-3)-a-9=0から a=-3
[1] のとき
[2] のとき, 前ページの解答 (1) [1] と同様にして
37
したがって
a=±3,
4
-
(2) 放物線と円が異なる4個の交点をもつのは, ① が-3<y<3
の範囲に異なる2つの実数解をもつときである。
a>
よって,次の [1]~[3] を同時に満たすαの値の範囲を求める。
なお,f(y)=y^+y-a-9 とする。
[1] ① の判別式をDとすると D>0
よって, 4a+37> 0 から
[2]軸について-3</1/23 <3
[3] f(3)=3-a> 0 から
a=-
a<3
a<-3
37
4
37
4
37
4
これは常に成り立つ。
(3)
f(-3)=-3-a> 0 から
~④ の共通範囲を求めて
参考 ① から y2+y-9=a
ゆえに,g(y)=x2+y-9として, -3≦y≦3におけるz=g(y)
のグラフと直線z=a の共有点を考えて解いてもよい。
37
‐<a<-3
gl(y)=(y+1/22-274 であるから,右の図より
(1) z=g(y) のグラフと直線z=αが接するか, 共有点のy座
標がy=±3となる場合を考えて
a=±3, -37
(2) z=g(y) のグラフと直線z=αが, -3<y<3の範囲に異
なる2つの共有点をもつ場合を考えて-3<a<-3
(1)
y-3<y<3
(1)
(2)
(1)
3
yi
-3₁ 0
<xについて重解。
My について重解。
< ① に y=3 を代入。
2/ 3 x
① に y=-3 を代入。
定数 α を右辺へ移項。
z=g(y) 42
23
1-3
At
W 10
13
3y
-3
-9
37
4
直線z=a を上下に動かして
判断する｡
157
3章
16
円と直線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

原点中心の円とy軸上に頂点がある二次関数なら絶対
y=±3で接しない？

ℎ

ということは参考の右図とは別にグラフを書いた方がいいというのとですか？

かきつばた

自分が分かれば書かなくていいとは思う。ただ書いた方がパッと見て分かるから減点はされにくくなるかな？

ℎ

参考に書いてあるようなz=g(y) のグラフと直線z＝αが接するかどうかという考え方とは別ってことですか？？

かきつばた

一緒だよ

ℎ

でもy＝±3のときはz=g(y)のグラフに接してなくないですか？

かきつばた

接してるよ

ℎ

接してるということがよく分からないです😓

かきつばた

そっちかごめんごめん
そっちで考えると、難しいよ。
端点と頂点は重解で、それ以外の所が2つの解を持つとすると、接点を持たないのは偶数個の解を持つ時だから、今奇数個の解を持つのは頂点と端点だから±3が接してるていう説明になっちゃう。この考えはめっちゃ難しいと思うよ

ℎ

わざわざ丁寧にありがとうございました😭おかげで理解できました！