Question

まっちゃ

133の(1)って、どうやって商と余りがわかるんですか？

□ 132 x 51 +1 を x2-1で割ったときの余りを求めよ。
□ 133*(1) x=√2-1 のとき, x4+3x3-5x2-10x+7 の値を求めよ。
(2)x=1-√5i のとき, x4-4x3+14x2 -19x+26 の値を求めよ。

ると
割ると
=9
(11)
を作る。
等式 A = BQ + R
(2)x=1-√5iから
x-1=
両辺を2乗して
(x-1)²=
x2=2x-6
(x+1)2=2から x2+2x-1=0
+3x35x210x+7 を x2+2x-1で割
ったときの商をQ(x), 余りをR(x)とす
ると
x4+3x35x210x+7
=(x2+2x-1)Q (x) +R(x)
x=√2-1のとき, x2+2x-1=0である
から、求める式の値はR(√2-1)となる。
(R(x)は1次式であるから計算が楽である)
(1)x=√2-1から
よって
ゆえに
更に
x=x2x=(2x-6
=2(2x-6)-6
したがって
134
x4=x3x=(-2x
=-2(2x-6)
x4-4x3+14x2-19x
=(-16x+12)-4(-2x
x+1=√2
-3)
両辺を2乗して (x+1)22
(a, b
よって
x2+2x-1=0
=x+2=(1-√5+2.
■指針】
(3)2x3の代わりに
①
また,x+3x3-5x2-10x+7 を x2+2x-1で割
ると,商は x2+x-6, 余りは3x+1であるから,
次の等式が成り立つ。
このとき,Q,
2x37x2 +8x-
適を,
x+3x3-5x2-10x+7
=(x2+2x-1)(x²+x-6)+3x+1
すなわち
2x37x2+8x-
よって, x=√2-1 のとき, 与式の値は
よって, 2x-3
2
3(√2-1)+1=3√2-2
3
(2) x=1-√5i から
x-l-v5i
余りはRとなる
両辺を2乗して (x-1)=5
(1)
よって x²-2x+6=0
また,x4x3+14x19x + 26 をx²-2x+6
45
で割ると, 商はx2x+4,余りはx+2である』
から,次の等式が成り立つ。
よって
4x²+
(2)
3
x-4.x + 14.x²-19x+26
=(x²-2x+6)(x²-2x+4)+x+2
よって、 x=1-v5i のとき,与式の値は
(1-√5i) +2=3-√5i
■指 針■■■
別解
xの1次式)で表し、求める式の次数を下
げる。
3
よって
3.x2
(3) 多項式 A を x-

Answer 1

ブドウくん

x=√2-1　…①
ルートだけ分離させると
x+1=√2
両辺を2乗すると
(x+1)²=2
x²+2x+1=2
x²= -2x+1　…②
(x+1)³=2
x³+3x²+3x+1=2
x³+3(-2x+1)+3x-1=0
x³-6x+3+3x-1=0
x³-3x+2=0
x³=3x-2
②²より
x⁴=(-2x+1)²
=4x²-4x+1
=4(-2x+1)-4x+1
=-8x+4-4x+1
=-12x+5

よって
x⁴+3x³-5x²-10x+7
=(-12x+5)+3(3x-2)-5(-2x+1)-10x+7
=-12x+5+9x-6+10x-5-10x+7
=-12x+9x-6+7
=-3x+1

よって-3(√2-1)+1
= -3√2+4

ブドウくん

訂正します。
x=√2-1　…①
ルートだけ分離させると
x+1=√2
両辺を2乗すると
(x+1)²=2
x²+2x+1=2
x²= -2x+1　…②
(x+1)³=2√2
x³+3x²+3x+1=2√2
x³+3(-2x+1)+3x+1-2√2=0
x³-6x+3+3x+1-2√2=0
x³-3x+4-2√2=0
x³=3x-4+2√2
②²より
x⁴=(-2x+1)²
=4x²-4x+1
=4(-2x+1)-4x+1
=-8x+4-4x+1
=-12x+5

よって
x⁴+3x³-5x²-10x+7
=(-12x+5)+3(3x-4+2√2)-5(-2x+1)-10x+7
=-12x+5+9x-12+6√2+10x-5-10x+7
=-12x+9x-5+6√2
=-3x-5+6√2

よって-3(√2-1)-5+6√2
= 3√2-2

Answer 2

🍇こつぶ🐡

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