例題 66 比例式と値
この証明
(1)
x
y
=
2 ¥0
2
y+z
3
4
xy+y+zx
40 のとき,+y+z の値を求めよ。
z+x
(2)
2
x
y
が成り立つとき、この式の値を求めよ。
思考のプロセス
RoAction 比例式は、(比の値)=hとおけ 例題 65
y+z
(2)
X
|対称性の利用
z+x
x+y=k とおく。
y'
2
Ly+z=kx
x, y, z に 対称性を維持
z+x=ky
対称性
x+y=kz
辺々加えてx+y+z をつくる。
x
(1)
y==k(k=0) とおくと
3
x=2k,
y = 3k,
z = 4k
これらを代入すると
xy+yz + zx
2k3k+3k4k+4k2k
x²+ y²+22
(2k)2 + (3k)²+(4k)2
26k2
26
29k2
29
(2)
y+z
z+x
x+y
319
X
とおくと
y
2
x
2
にそれぞれ分母の数を
ける。
sid
与えられた式の値は、
の値によらず一定である
y+z=kx... ①, z+x=ky ... ②, x+y=kz ... (3)
①+②+③ より 2(x + y + 2) = k(x + y +2) | |
よって
(2-k)(x+y+z)=0
④
ゆえに 2k=0 または x+y+z=0
(ア) 2 -k = 0 すなわち k = 2 のとき
y+z=2x... ①′,z+x=2y… ②′, x+y=2z... ③′
①-②' より x=
②'-③′ より y=z
よって, x=y=zである。
逆にこのとき, ①〜③ より k = 2 となる。
(イ)x+y+z=0 のとき
y+z=-x より k =
y+z
-X
=
x
X
(ア)(イ)より, 式の値は
2 または 1
① + ② + ③ を計算すると
両辺に x+y+z が現れる。
(x+y+z=0かもした
ないから, 両辺を
x+y+zで割って, k=!
と結論づけてはいけない
① ② ③ ④ は成り立つ
が,④ ① ② ③ が成り
立つとは限らない。
よって,k=2となる
y, zが存在することを確
かめる。
x+y+z=0 のとき
式の値は1となる。
同様に,
z+x
y
x+y=-1
66 (1)
x
v
