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2次関数 f(x)=2x2-4ax+5があり,y=f(x) のグラフをx軸方向に 1, y 軸方向に
5a-2 だけ平行移動したグラフを表す 2次関数を y=g(x) とする。 ただし, は正の
定数とする。
(1) y=f(x) のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=g(x) のグラフがx軸と共有点をもつようなαの値の範囲を求めよ。 また,
y=g(x) のグラフがx軸の正の部分と負の部分において1つずつ共有点をもつような
αの値の範囲を求めよ。
(3) y=g(x) のグラフがx軸の0<x<3の部分とただ1つの共有点をもつようなαの値
の範囲を求めよ。
(iv) g(3)=0のとき
11
-13a +11=0 より
a=
13
96
54
このとき,g(x)=2x2-
-x+
13
13
1/1 =2(x-3)(x- 1/3) となり,
9
0
x軸と0<x<3の部分で交わるのでa= 1は条件を満たす。
(i)(iv) より a=
1 11
2'13
13
(解説)
(1)
f(x)=2x2-4ax+5=2(x-α)2-2a²+5
よって, 頂点の座標は (a,2a2+5)
(2) f(x) の頂点をx軸方向に1,y軸方向に-5a-2だけ平行移動した
g(x)の頂点は(a+1,-2a²-5α+3)
y=g(x) のグラフは下に凸のグラフであるからがx軸と
共有点をもつためには (g(x)の頂点のy座標) ≤0となればよい
よって−2a25a + 3≤0 より
2a2+5a-320
(2-1)(+3)≧0
as-3.sa
K-3,
a>0 より/12/20
また, y=g(x) のグラフがx軸の正の部分と負の部分において1つずつ
共有点をもつためには, g(0) <0 となればよい
ここで,g(x)=2{x-(a+1)}2−2a2-5a+3 であるから,
g(0)=2{-(a+1)-2a²-5a+3= -a +5
よって, -a+5<0 より a>5
(3) 条件を満たすには,次の4つの場合が考えられる。
(i) x軸と異なる2点で交わり, 1点は0<x<3の部分で交わり,
もう1点はx<0または3<x の部分で交わるとき
このとき g(0)xg(3)<0 となればよい
g(0)=-a+5,g(3)=-13a+11 より
(−a+5)(-13a +11) < 0
(a-5)(13a-11)<0
11
より
<a<5 (a>0を満たす)
(ii) 0<x<3の部分でx軸と接するとき
(頂点のy座標) = 0 より a= ,-3
W.
>0より 01/2
a=
このとき,頂点(つまり接点)の座標は (12/20) となり
a=
= 1/12 は条件を満たす。
(ii) g(0)=0のとき
-α+5=0より a=5
このとき, g(x)=2x2-24x=2x(x-1) となり, x軸と
0<x<3の部分で交わらないので条件を満たさない。
3
3
