りクる
1通り
…負
(@,) 8 Z を自然数。ァ を正の有理数とする。このとき
員
品ー を満たす自然数 x。 の組(zu。 ……。 z) の
個数は有限でぁること を示せ。 (H997) 前)
(1) zミ2 と仮定すると エミ=ユエ ょって
7
Ao め
NII カーの"の の
ユン
の
きき4 である. また>0 であるとと
となる. だから,
1
からうーー ラジ となり, ァ>2 である.
ァー3 の8 ヶ三6 となり, ァ三4 のときは 2?三4 と
なる。ァ> のときも同様にする と 求める自然数。ヶ
の組は(3。 6), 4, 3, (6, 3)の3通り。 ………民
(2) ヶ=1 のときは 一=/ なので,。 これを満たす自然
数 zi は高々 』個である』 1とし,
ーー/ (/ は正の有理数)
ょ=1 アょ
を満たす自然数の組 (zu zz ・…:> zz) の個数が有限であ
1 1
。 る と仮定する。 そして 呈ーー (7は正の有理数)
大ついjiG考 旬る間2 -:生Zznn と仮定しでも一
般性を失わないのでそのように仮定みる. すると
りあ
1 アル *ニ1 アァ+1 ゲそう(
となり。 る革となる. よって, これを満たす自
然数は有限個である
1剛 ーーテアバー iCポアクニ
=/より 選 CT Zn
メニ1 k
は正の有理数だから, 上の仮定より, これを満たす自然
(っ。 の個数は有限である. 上の結果とあ
わせ:で エークン を満たす自然数の組 (Zzz。 …っ> Zr
ょ=1 アル
の個数
は有限である.。 よっで数学的帰納法により題癌は
証明きれた.
