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例題44 3つの集合の要素の個数
100 から 200 までの整数の集合を全体集合ひとし,その部分集合で2,3,7
の倍数の集合をそれぞれA, B, C とする。 このとき 237 のいずれでも
割り切れない数の集合の要素の個数を求めよ。
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考え方 n (AUBUC) =n(A)+n(B)+n(C)
解
- n(ANB)-n(BNC)-n(CNA) + n(ANBNC)
n(U)=101
A = {2･50, 2･51, ......, 2･100} より, n(A)=51
B={3・34, 3・35, ......, 3·66}より, n(B)=33
C={7･15, 7･16,
7･28}より, n(C)=14
また, ANB, BNC, CNA, ANBNC は, それぞれ 6, 21, 14, 42の倍数の
集合である。
A∩B={6･17,618, ......, 6･33}より,
B∩C = {21.5, 216, .....,
21・9} より,
C∩A={14･8, 149, ······, 14・14} より,
A∩B∩C={42 3 42 4 より
したがって,
n(AUBUC)=51+33+14-17-5-7+2
(A∩B∩C)=2
=71
ここで, 2, 37 のいずれでも割り切れない
数の集合は ANBNC である。
ANBNC = AUBUC であるから,
n(ANBNC)=n(AUBUC)
=101-71
=30
=n(U)-n(AUBUC)
n(ANB)=17
n (B∩C)=5
n(COA)=7
