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重要 例題 161 図形への応用 (1)
△ABC において、辺BC, CA, ABの長さをそれぞれ0.6.
が半径1の円に内接し,∠A=
ORCO 2003 nia
指針▷条件は ∠A= 1だけで,辺に関する条件が与えられていない。したがって, ath
なお,三角形の問題では, (内角の和)=の条件が大きな意味をもつ。 まず、これを
出して, 扱う角を減らしていくとよい。
解答
∠A=A, ∠B=B, ∠C=Cとする。
A+B+C=xとA=/4/30から
ゆえに
よって
角で表し、角に関する最大値の問題に帰着させる。
→△ABC は半径1の円に内接しているから,正弦定理が利用できる。
C=rー(A+B)=212-B
また 0<B</n
△ABCの外接円の半径は1であるか
ら,正弦定理により
であるとき,
a
sin A
b
sin B sin C
とする。
a+b+cの最大値を求めま
-=2.1
B
a=2sin A, b=2sin B, c=2 sin C
a+b+c=2(sinA+sin B+ sinC)
EOS
2
= 2{sin+sin B+sin(
¹ ( ²/² π-B) }
3
= √3+2√/3 cos(B-5)
3
C
π
π
= 2√3+2 sin cos(B-3)}Een
0<B<2/23 の範囲において, cos (B-)はB=7のとき
3
3
最大となり, 求める最大値は
(カ)
■Cが消去できた形にな
よって、以後はBのみ
辺
正弦定理
sin
= 2x (外接円の半径)
和→積の公式を利用
(*) B=10gのとき,
C=1(=A)となる
a+b+cが最大とな
△ABC が正三角形の
√3+2√3.1=3√30NO ある。
練習 半径1の円に内接する △ABCにおいて,∠A= α, ∠B=β,∠C=
③ 161 (1) △ABC の周の長さL を sina, sin β, siny で表せ。
△ABCの面積 S を sina, sin β, siny で表せ。
(3) △ABC の内接円の半径R を sina, sin β, sin y で表せ。
(4)が一定のとき, Sの最大値とそのときのα, βをで表せ。
(5) α=β のとき, R を cos α で表し, R の最大値を求めよ。
(p.2
