指針> p.575 基本例題 125(1) と同様に, [解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けは
Un+1=antbnで定めると
JUn
数列 {an}, {bn}をa=1, bi:
ま
め
(2) 数列 {an}, {bn} の一般項を求めよ。
(2)(1)から,数列 {an+xb»} は公比yの等比数列となり
これに an=bn+1-bnを代入し, an を消去すると
bn+1=(1-x)bn+(a+xb,)y"-1
antxb,=(a+xb)ly
よって,①の両辺をy"+1 で割ればよい。
解答
(1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(antbn)
=(5+x)an+(-4+x)bn
参考 (解法2) [1つの
に関する新化式に帰着き
る]の方針による解答
3が月後
an+1=5an-4b。
(5+x)an+(-4+x)bn=yantxybn 文 bnュ=antb。
2から a=ba+ーb。
よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn)とすると
これがすべてのnについて成り立っための条件は
5+x=y, -4+x=xy
an+i=ba+z-bm
これらを0に代入して
bn+2-66m+1+96,=0
特性方程式x-6x+9=1t
解くと x=3(重解)
よって、p.573 基本例題124
5+x=yを-4+x=xy に代入して整理すると
x2+4x+4=0
ゆえに
x=-2
したがって,求めるx, yの値は
(2) (1)から
よって,数列{anー2bn} は, 初項 a-26」=3, 公比3の等比と同じ方針で、まず一般類い
数列であるから
x=-2, y=3
an+1-26n+1=3(an-26m)
を求める。
an-2bn=3·3"-1=3" すなわち an=2bn+3"
これに an=bn+1-bnを代入すると
bn+1=36n+3"
l an+1=pantq"型は両辺を
n+1
g"*1 で割る(p.564参
bn+1
37+1
両辺を3*+1 で割ると
bn
1
D
37
3
数列は、初用 公子の等器数列で
列は,初項-
数
1
公差の等差数列で
3!
3
3'
あるから--+-
bn
1
1
n-2
37
3
3
3
よって
a,=3"-(2n-1), 6,=3"-'(n-2)
an=26,+3" に代入。
