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数学 高校生

(1) 判別式Dに=がついてるのはなんでですか? 2つの解と書いてあるから重解になるのは変な気がします。教えてください。

基本 例題 52 2次方程式の解の存在範囲 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 指針 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 → α-1>0 かつβ-1>0 p.87 基本事項 2 (2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 → α-3とβ-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判別解 2次関数 解答別式をDとする。 D =(-p)² - (p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) 4 解と係数の関係から a+β=2p,aß=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1)>0 D≧0 から よって (p+1)(p-2)≥0 p-1,2≦p ...... (a-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よって>1 ...... f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 2 =(p+1)(p-20, 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA x=py=f(x) ② 3-p + a 1 B x (α-1)(-1)>0 すなわち αβ- (α+β) +1>0 から p+2-2p+1>0) 89 2 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 よって <3 ③ たす 1- 求めるかの値の範囲は, 1, 2, (SF (0. (2)_f(3)=11-5p < 0 から 11 ③の共通範囲をとって 123 P 2≤p<3 の解は (2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は (a-3)(B-3)<0 題意から α =βはあり えない。 すなわち αβ-3(a+β)+9 <0 250 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって 11 p> 5

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数学 高校生

右ページの面積図で、 事象Bの形が写真のようになっている所が 分かりません。 事後の確率の 計算方法をあまり理解出来ていないので、 追加質問をするかもしれません。 ご回答よろしくお願いします(*.ˬ.)"

第5章 第5章 確率 事後の確率 次のような問題を考えてみましょう. 例題 箱の中に 10 本のくじがあり,その中の3本が当たりである.まず太郎 くんが1本くじを引き,そのくじは元には戻さないで,次に次郎くんがく じを引く、次郎くんが当たりくじを引いたという条件のもとで,太郎くん が当たりくじを引いていた確率を求めよ. 思わず二度見,ならぬ二度読みしてしまう問題ですね、この問題は,何かが 「ちょっと変」なのです. 例えば,「太郎くんが当たりくじを引いたという条件のもとで」次郎くんが 当たりくじを引く確率というのであれば理解できます. 太郎くんが当たり じを引いた段階で, 箱の中には9本中2本の当たりくじがあるのですから,こ 2 こから次郎くんがくじを引いて当たる確率は となります. これは問題あり 9 ませんね. ところがこの問題が聞いているのは,「次郎くんが当たりくじを引いたと いう条件のもとで」 太郎くんが当たりくじを引いた確率です. 普通の感覚では, 確率というのは「未だ起こっていないこと」について考えるものです.ところ が,次郎くんが当たりくじを引いた段階では,すでに太郎くんはくじを引き終 わっているのです。いわば、「もう起こってしまったこと」についての確率を 考えている,ここがこの問題から生じている違和感の正体です. この問題は,次のようなストーリーをつけて解釈すると納得できるかもしれ ません. 太郎くんはくじを引いたのですが,それを誰にも見せずにどこかに隠して しまった. 次に,次郎くんがくじを引くと, それは 「当たり」 だった. このとき、 太郎くんが引いたくじが 「当たり」 である確率はどのくらいだ ろうか. このような後から起こったできごとから,それより前に起こったできごと の確率について考えるような問題を, 事後の確率と呼んだりします。 241 確率の考え方自体は今までと何ら変わりはありません。 面積図を使って、この 時系列が逆転する確率の問題は,解釈がなかなか難しいのですが、条件つき 問題を考えてみましょう. 「たりくじを引く」という事象をBとして,次のような面積図をかきました. p235 で, 「太郎くんが当たりくじを引く」という事象をA,「次郎くんが当 310 10 710 9 A B A 「Aという条件のもとでBが起こる確率」というのは,下左図のように「事 「象A」の青枠の中に占める 「水色の網かけ部分」の面積比です(これはもちろ ん となります). 同じように考えれば, 「Bという条件のもとでAが起こる 「確率」というのは, 下右図のように 「事象B」 の太枠の中に占める 「水色の網 「かけ部分」の面積比となるはずです. 3 10. 2 9 7 9 A 10 B A 3 310 29 9 LA B A 10 71 1-3 P(B)=青枠の中の水色の網かけ部分の割合 PB(A)=太枠の中の水色の網かけ部分の割合 それを計算する 32 10 9 PB(A)= 3 2 7 + 10 9 3.2 = 6 = 2 3・2+7・3 27 9 1 10 3 となります。 このように考えにくい条件つき確率の問題も、面積図を用いる と直感的にとらえることができ、とても理解しやすくなります。

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