基本例題 69 絶対値を含む1次不等式 (グラフ利用)
不等式2|x+1|-|x-1|>x+2をグラフを利用して解け。
指針 一般に, f(x)>g(x) ということは, y=f(x)のグラフが
y=g(x)のグラフより上側にあるということである。
右の図の場合, 方程式f(x)=g(x) の解をα, β (a <β) とす
ると,不等式f(x)> g(x)の解はα <x<β となる。
本問では, y=2x+1|-|x-1|のグラフがy=x+2のグラ
フより上側にあるようなxの値の範囲が、 不等式の解となる。
y=2|x+1|-|x-1|とする。
CHART 不等式の解 グラフの上下関係から判断
解答 x<1のとき
|A__y=−2(x+1)−{−(x−1)}
ゆえに
+1≦x<1のとき
B
C
ゆえに
1年のとき
y=-x-3
y=2(x+1)-{-(x-1)}
y=3x+1
y=2(x+1)-(x-1)
x<1のとき, -x-3=x+2から
Aと②の効
y=3x+1
x+3
2
XC
yA
4
<x
t
2
01
1
-1≦x<1のとき, 3x+1=x+2から
2
Bと②の交点
したがって, 不等式2x+1|-x-1>x+2の解は
5 1
2'2
[参考] y=2x+1|-|x-1|は
-x-3 (x<-1)
x=-
x=
-2
B
ゆえに
y=x+3
よって, 関数 y=2|x+1|-|x-1|のグラフは図の①とな指針」
る。一方,関数 y=x+2のグラフは図の② となる。
図から、①と②のグラフは,x<-1または-1≦x<1の
範囲で交わる。
①と②のグラフの交点のx座標について
y=x+2
x
\y=g(x)
y=f(x)/
(-1≦x<1) と表すことができる。
(1≦x)
a
上
基本68
--------
◄x+1<0, x-1<0
B x
x+1≧0,x-1 <0
<x+1>0,x-1≧0
A=I
★の方針。
2つの関数のグラフをか
いて, グラフの上下関係
から不等式の解を求める。
①と②のグラフの交点
のx座標を α, β(a <B)
とすると, 求める解は
x<α, β<xであるから,
α, βの値を求める。
左の計算から,
5
11/2B-1/2である。
B=
①のグラフが②のグラ
フより上側にあるxの
値の範囲。
