線を引いたところが分かりません！なぜ=1になるのですか？

DOOOO 基本 例題 36 交点の位置ベクトル (2) (1) 線分 CM と FE の交点をPとするとき,AFをも,àで表せ。 (2) 直線 AP と対角線 BD の交点をQとするとき. AQ をも, d で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 [2 で進める。 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 1章 (2) 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAF(kは実数) とおける。 点Qが直線 BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1(係数の和が1) 5 -0 解答 (1) CP: PM=s: (1-s), EP: PF=t:(1-t) とすると D AF=(1-s)AC+sAM=(1-s)(6+d)+ F M 1-S 3 b AF-(1-)AE+tAF=(1-)(5+-)+1は+) O4AO0 B -1/E 1+2t- 3 +0, à+0, 6xāであるから +A0(1-1)3D| 1+2t S =1- 2 -t, 1-s= 4 +20 6, à の係数を比較。 3 7 ゆえに AP=05+ 13 13 6 4 よって s=3. t=高 点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数)と おける。 AG=A(-5+)= 10 1 ká 0 +94- 10 AQ= -kAB+ -kAD よって 13 13 13 13 13 7 k=1 13 10 (係数の和) %3D1 点Qは直線 BD上にあるから 13 13 k= 17 したがって AG-+ えに 17 ①にお |平行四辺形 ABCDにおいて, 辺 ABを3:2に内分する点を E, 辺BCを1:2に ロー AD=àとする。 上も ヒ) ベクトル方程H N

この問題のvの求め方についてです。解答ではオイラーの多面体定理を使っていますが、以下のような方法でも良いのでしょうか？:正二十面体の頂点は12個で、正五角形ひとつあたり5つの頂点がある。また、それぞれの頂点では正五角形の頂点が2つ重なっている。したがって、(12×5)÷2=30。

基本 例題100 多面体の面,辺, 頂点の数 O0000 正二十面体の各辺の中点を通る平面で,すべてのかどを切り 取ってできる多面体の面の数f,辺の数 e, 頂点の数ひを,そ れぞれ求めよ。 p.461 基本事項2 指針> このようなタイプの問題では,切り取られる面の形や面の数に注目する。 まず,もとの正二十面体について, 頂点の数, 辺の数を調べることから始める。 一正多面体の辺の数 正多面体の頂点の数、(1つの面の頂点の数)× (面の数)= (1つの頂点に集まる面の割 問題の多面体の頂点の数 ひ,辺の数 e, 面の数fの3つのうち, 2つがわかれば,残り1っ は オイラーの多面体定理 ひーe+f=2 から求められる。 なお,この定理は,下の CHART で示すように, e=ひ+f-2 の形の方が覚えやすい。 、(1つの面の辺の数〉x(面の数)-2 ト ン CHART オイラーの多面体定理 e3Dv+f-2 に引け (辺の数)=(頂点の数) + (面の数)-2 線 は 帳 面 の 解答 正二十面体は,各面が正三角形であり, 1つの頂点に集まる面|問題の多面体は、次の図のよ の数は5である。したがって, 正二十面体の うになる。この多面体を ニ十面十二面体 ということがある。 面の 辺の数は 3×20-2=30 頂点の数は 3×20-5=12 の 次に,問題の多面体について考える。 |正二十面体の1つのかどを切り取ると, 新しい面として正五角 形が1つできる。 のより,正五角形が12個できるから, この数だけ, 正二十面体 より面の数が増える。 したがって,面の数は 辺の数は,正五角形が12個あるから イ正二十面体の各辺の中点が、 問題の多面体の頂点になる ことに着目して、頂点の数 から先に求めてもよい。 f=20+12=32 e=5×12=60 頂点の数は、オイラーの多面体定理から ひ=60-32+2=30

この問題のvの求め方についてです。解答ではオイラーの多面体定理を使っていますが、以下のような方法でも良いのでしょうか？:正二十面体の頂点は12個で、正五角形ひとつあたり5つの頂点がある。また、それぞれの頂点では正五角形の頂点が2つ重なっている。したがって、(12×5)÷2=30。

基本 例題100 多面体の面, 辺, 頂点の数 OO000 基 正二十面体の各辺の中点を通る平面で, すべてのかどを切り 取ってできる多面体の面の数f,辺の数 e, 頂点の数ひを,そ れぞれ求めよ。 p.461 基本事項 2 指針> このようなタイプの問題では, 切り取られる面の形や面の数に注目する。 まず,もとの正二十面体について, 頂点の数, 辺の数を調べることから始める。 一正多面体の辺の数、 正多面体の頂点の数、(1つの面の頂点の数)×(面の数)- (1つの頂点に集まる面の数 問題の多面体の頂点の数ひ, 辺の数 e, 面の数fの3つのうち, 2つがわかれば, 残り1つ は オイラーの多面体定理 ひ-e+f=2 から求められる。 なお,この定理は, 下の CHART で示すように, e=ひ+f-2 の形の方が覚えやすい。 1つの面の辺の数)x(面の数)-2 宝料面委の を ト ご CHART オイラーの多面体定理 e=u+f-2 に引け (辺の数)=(頂点の数) +(面の数)-2 線 は 帳 面 解答 正二十面体は,各面が正三角形であり, 1つの頂点に集まる面|問題の多面体は,次の図のよ の数は5である。したがって, 正二十面体の うになる。この多面体を 辺の数は 3×20-2=30 ニ十面十二面体 頂点の数は ということがある。 面の 3×20-5=12 0 次に,問題の多面体について考える。 『正二十面体の1つのかどを切り取ると, 新しい面として正五角 形が1つできる。 のより,正五角形が 12個できるから, この数だけ, 正二十面体 より面の数が増える。 したがって, 面の数は 辺の数は,正五角形が 12個あるから (正二十面体の各辺の中点が、 問題の多面体の頂点になる ことに着目して、頂点の数 から先に求めてもよい。 f=20+12=32 e=5×12=60 頂点の数は,オイラーの多面体定理から V=60-32+2=30 を玉

線を引いたところから線を引いたところへの途中式を解説お願いします🙇🏻‍♀️

基本 例題12 ベクトルのなす角 (2) a=(-1, 3), ō=(m, n) (mとnは正の数), =15 のとき, āとものな 1)かを正の数とし,ベクトル&=(1, 1) と万%= (1, ーか)があるとする。いま, す角は45°である。このとき, m, nの値を求めよ。 403 【立教大) Ap.400 基本事項 4 指針>内積a-5について, a5=lā||6|cos 6, a·b=ab,+a:b. の2通りで表し,これらを等しいとおいた方程式を利用する。 1)ではか,(2)では m, nの値がいずれも正の数であることに注意。 1章 3 解答 10) a-5=1-1+1·(一)=D1-か d=?+1° =/2, 万=/1?+(-か=1+が -5=a|||lcos 60°から 4成分による表現。 BAHD 1-カ=V2V1+がx 1 の 0の両辺を2乗して整理すると が-46+1=0 るする X+IX カ=2±/3 ここで, Oより,1-カ>0であるから p=2-V3 6=5 よって 0<か<1 V1+が>0 であるから、 のの右辺は正。よって, ① の左辺は 1-p>0 ゆえに 2 =5 から よって 注意 ● が出てきたとき m?+n?=5 の lal=/(-1)?+3° =/10 であるから は,かくれた条件●20, 20に注意。 a-5=a||||cos 45°=/10·/5- -=5 V2 また,a-b=-1.m+3*n=-m+3nであるから 成分による表現。 ーm+3n=5 のえに を①に代入して 小って これを解いて りから m=3n-5 の 2 (3n-5)°+n*=5 n-3n+2=0 ゆえに (n-1)(n-2)=0 n=1, 2(n>0を満たす) n=1のとき m=-2, も正の数であるから, 求める m, n の値は n=2のとき m=1 M3D1. n=2 eP ベクトルの内積

基本例題28の(1)って 4x4x4=64はなぜ違う？

B612 次の問いに。, 含まれや文字があっても。 276 基本 例題28 重複組合せの基本 00000 (1) 1, 2, 3, 4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す 0 とき,作られる組の総数を求めよ。 |b.267 基本事項3 CHARTOSOLUTION 重複組合せ ○と仕切り |の活用 基本事項で示した »H,=n+rー」Cr を直ちに使用してもよいが, 慣れないうちは とrを間違いやすい。 次のように, ○と仕切り|による順列として考えた方 実である。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3個の○と3個の仕切り|の順列 LIOOIO 1 は1が1個, 2が2個を表す。 1 2 3 4 TO|OIO は2が1個, 3が1個, 4が1個を表す。 123 4 (2) 異なる3個の文字から重複を許して8個の文字を取り出す。 →8個の○と2個の仕切り」の順列 例えば, ○○○〇一〇〇○○ はxを3個, yを1個, zを4個取った x 場合で,8次の項xyzを表す。 解答 日(1) 3個の○と3個の|の順列の総数が求める場合の数となる から 6·5·4 ="3。 3-2-1 =20 (通り) 19 -=20 でもよい。 別解 求める組の総数は, 4種類の数字から重複を許して3個 取り出す組合せの総数に等しいから H3=+3-1Cg=C3=20 (通り) 3!3! 日(2) 8個の○と2個の|の順列の総数が求める場合の数となる つ-+=H"→ から 10C&=10C2= 6-0I -=45 (通り) 2-1 解 Hs=3+8-1C。=10Cs=10C2=45 (通り) : iOI =45 でもよい。 2!8!

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？その違いを教えてください🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1==B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,) (p.571 基本事項I(0,、 ニx+6を解くと, an+2-an+1=ー5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まないから, ② を用いて 2通りに 指針> まず,an+2 をx?, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く 572 O000 基本 例題123 隣接3項間の潮化式リ (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 指 2解を8とすると, αキBのとき が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると とにつ の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) 0より,数外{an++2am} は初項 a2+2a1=1,公比3の等比 (x+2)(x-3)=0から x=-2, 3 α=-2, B=3として福 an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 比数列であるから ant1-3an=(-2)"- 5a,=3"-1-(-2)"1 数列であるから ののを利用。 3-の から lan+1 を消去。 て Sさで 1 anミ 5 したがって San Gute TSaariに antに an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列 {an+1一an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-an=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=Q;+2(-5)*-!=1+ 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=&n+ +5 よって an+i+5am k=1 三 され 6 =an+5an-1 n=1を代入すると, (7-(-5)}=1であるから, 上の式 =……=0a+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5am=7を変形し an+1- 6 --ロー(-)) したがって an {7- から a,=1-(- 意

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項] 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-aan+1=B(an+1-aam), an+2-Ban+1=«(an+1-Ban) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 一5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-Cn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 (1) 漸化式を変形すると x=x+6 を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 Q=-2, B=3 として指針 ののを利用。 の, an+2+2an+1=3(an+1+2am) an+2-3an+1=2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 数列であるから 2より,数列{an+1-3an} は初項 a2-3a,=1, 公比 -2の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-のから は、一の an+1+2an=3"ー1 3DD 4 5am=3"-1-(-2)”-1 an+1 を消去。 したがって tュ= 3"-(-2)"1} (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 az-a:=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2 -5(an+1-an) イx+4x-5=0を解くと, (x-1)(x+5)=0から an+i= an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)ー!_1+ k- 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=an+1+5an よって an+1+5an k=1 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1 であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a2+5a=7 はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し, 7 an 6 an+1- したがって {7- から a,=ロー(-3) 練習 次の条件によって定められる数列 {an)の一般頂をめ上

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項1 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-Can+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α(an+1-Ba,) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列 {an+1+2an}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 5野 x=x+6を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 α=-2, B=3 として指針 のAを利用。 (1) 漸化式を変形すると の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 (2 数列であるから an+1+2an=3*ー1 3 bD 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1, 公比 -2 の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-の から 5a,=3"-1-(-2)"-1 an+1 を消去。 したがって anミ (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 a2-a1=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2-Qn+1=ー5(an+1-an) (x°+4x-5=0を解くと (x-1)(x+5)=0から an+1-Qn=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)*ー1_1+ k- 別解 漸化式を変形して k=1 an+2+5an+1=an+1+ よって an+1+5an =an+5an-1 n=1を代入すると,(7-(-5)"}=1であるから, 上の式 =……=a2+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し 4.=17-(-5)-) 7 an+1 6 an したがって から 4,=ロー(-

増減表のa前後の符号の考え方が分かりません。

重要例題 めの条件 257 atcosx ソ= sinx が極値をもつように,実 とに注 まなく、 数aの値の範囲を定めよ。 【高知女子大) p.235 基本事項2, 基本 149,150 OLUTION CHART 微分可能な関数f(x) が極値をもつ 「[1]_f(x)=0 を満たすxが存在する 「2] その前後でf'(x) の符号が変わる - まず f(x)30 が 0<xく元 で解をもつための条件を求め(必要条件), その解の前後でf(x) の符号を調べる (十分条件)。 ーsinx·sinxー(atcosx)cosx sin'x a cos x+1 sin?x キ文の f'g-fg' =0のとき y'<0 であるからyは単調に減少し,極値は存在 しない。よって aキ0 1 ア=0 とすると 0くxく元のとき Icos.x|<1 であるから, ①の解が存在する条 COS X=ー- a の <x<π のときcos.x は単調に減少するから, のを満たすxは1つし か存在しない。 ハー00 件は ゆえに la|>1 したがって 合必要条件。 『このとき,① を満たすxの値をα (0<α<z)として, yの増減表を作ると次のようになる。 a>1 のとき ソ=Cosx 1 6章 x Q π y a 1 0 1 π 17 a 0 a π 2 1 x y 極小 -1 a<-1 のとき x π 0 y 極大 合 十分条件の確認。 ゆえに,確かにyは極値をもつ。 よって, 求めるaの値の範囲は フ OO 関数の値装代 ブく

(3)の解法解説をして欲しいです。

OO000 書かれている。この12枚の札から無作為に3枚取り出したとき, 次のことが能 赤,青,黄の札が4枚ずつあり, どの色の札にも1から4までの番号が1つすっ 合のケンするで 基本 例題38 確率の計算 (3) 組合せの利用 こる確率を求めよ。 (1) 全部同じ色になる。 (埼玉医大 (3)色も番号も全部異なる。 (2) 番号が全部異なる。 iD.356 基本事項 指針> 場合の総数Nは, 全12枚の札から3枚を選ぶ組合せ で 12C3 通り (1)~(3)の各事象が起こる場合の数aは, 次のようにして求める。 (1)(同じ色の選び方)× (番号の取り出し方) (2)(異なる3つの番号の取り出し方)×(色の選び方)…同色でもよい。 (3)(異なる3つの番号の取り出し方)× (3つの番号の色の選び方) 取り出した3つの番号を小さい順に並べ,それに対し,3色を順に対 応させる,と考えると,取り出した番号1組について,色の対応が P。通りある。 123 赤青黄 赤黄青 積の法則 青赤黄 青黄赤 黄赤青 黄青赤 白 解答 12枚の札から3枚の札を取り出す方法は 12C。 通り 検討 (1) 赤, 青, 黄のどの色が同じになるかが その色について, どの番号を取り出すかが .C。 通り (1) 札を選ぶ順序にも注目し、 N=12P3=12C&×3! a=;C;×,C。×3! と考える 3C;×,Cs 3Ci 通り C, ×,C% (赤 ) 3×4 3 12C。 220 4C。 通り ゆえに,求める確率は 三 となり、 と、立ー12Cs 55 a (2)どの3つの番号を取り出すかが 左の解答の式と一致する。 13つの番号それぞれに対し, 3つずつ色が選べるから 3×3×3=3° そのおのおのに対して, 色の選び方は3°通りずつあるから, 番号が全部異なる場合は Cg×3°通り 4Cg×3° 12C。 ゆえに,求める確率は 4×27 220 27 55 (3) どの3つの番号を取り出すかが,Cs 通りあり, 取り出した 赤, 青,黄の3色に対し。 3つの番号の色の選び方が&Ps 通りあるから, 色も番号も全 Cg×Ps 通り CaX&P3_4×6 12C。 1, 2, 3, 4から3つの数を 選んで対応させる,と考え て,1×,P。通りとしてもよ い。 部異なる場合は ゆえに,求める確率は 6 220 55 練習 1組の。 ロ 興-