2 [2011 名古屋市立大]
座標平面上の点 (1, 0) に物体Aがある。 さいころを振り, 1から4の目が出たら原点か
ら距離1だけ遠ざけ, 5 または6の目が出たときには原点のまわりに15度時計方向と逆
回りに回転させる。 物体 A がy軸に達するまでこれを続ける。
(1) 物体Aが点(0, n) (n=1, 2, 3, ......) に達する確率P" を求めよ。
(2) P, を最大にする n を求めよ。
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解答
(1)物体Aが点(0, n) に達するのは, 1から4の目を(n-1) 回,5または6の目を
5回出した後, 5 または6の目を出す場合である。
したがって
n-1/2\5
²- == - + + C s ( 2 ) ² - ( ² ) ² × ² /
X
=
6
6
(2) (1) から
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 2\-1
120
3
Pn+1
Pn
Pnt11 とすると
>1
Pn
-
2 (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n
5!
×
(n+1)(n+2)x+3)(n+4)(n+5)
120
n+5 2 2n+10
n 3
3n
2n+10
3n
ゆえに n<10
同様に考えて,n=10のとき
120
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \3
=
6
->1
すなわち
よって, n10のとき P+1>PM
P=Pn+1
n> 10 のとき P₁>Pn+1
したがって P₁<P₂<······ <P10= P11>P12>......
よって, P を最大にするnは
n
n=10,11
6
(3) (13)
2
6
(²³)*(-²) º
3. 3
2-3
2n+1/ -6
1 (1/31 ) 20
2n+10>3 (3n>0より)
