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282 体積と極限
曲線 C:y=e* と直線l:y=ax+b (a>0) が2点P(x1, yi),Q(x2, 2)
で交わっている。 X2 X1 = c (c>0) とするとき
(I) , をaとcを用いて表せ。
(2) PQ=1のとき, 曲線 C と x軸および2直線 x = X1, x = x2 で囲ま
思考プロセス
れた図形をx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V(a)に対
V (a)
a
して, lim
818
(2) 《Action 回転体の体積は,回転軸に垂直な切り口の円を考えよ 27
①②より
C² =
V(a)=xf"
V (a) π
a
=
X2
=
(1) P, Qは上にあるから
また,P,QはC上にもあるから
y2 = exi+c = exec = ecy
lim
a →∞
ズ1
1
1+q²
(ex)dx = (x1, x2の式)
=
= (y1, y2 の式 )
を求めよ。
31 =
aJx1
-
= (a,cの式)
La
ここで, PQ=(x^2-x)+(y2-y)^=1 より
c² + a²c² = 1
a> 0, c>0 であるから
=
X2
**(e²)² dx = 2 (e²*₁ — ²x₁)
(e2x22x1
2a
ac
2
ac
27 (1²2² - 32²) = 2 a {(ace 1 ) ² - (²₁)²}
=
2a
2a
лaс² (e²+1)
2(ec-1)
lim
C++0
π
だけの式にすると繁雑なので,cの式にする。
y2 = y1+ac
・②
acec
2
e-1'¹²e - 1
π
前問の結果の利用
(1) では y1,y2 と α,cの関係を導いた
から, y1,y2の式を経由して考える。
より, α →∞ のときc+0 であるから
V (a)
TC√1-c² (ec +1)
a
2(e² - 1)
C
a=
lim
2c+0e-1
√√1-c²
C
.
1
(大阪大改)
√1−c² (eº + 1)
· 1 · √1 · (1 + 1) = π
1.T.(1+1)===
P Q が 1, C 上にあるこ
とから, x1, X2, yi, Y,
acの関係式を考え、そ
こから, X1, X2 を消去す
る。
y
y=ax+b1
y=e^
P
*
xi
x
● ① より Y2-y1 = ac
lim
c+0
V (a)
a
と式が繁雑になるから,
a を消去してcだけの式
にし,c の極限を考える。
から cを消去する
f(x)=e^ とすると
=lim-0
C
= f'(0) = e° = 1
