413
1
1
1
2
3
<logn+1
n
log(n+1)<1+
一12
dx
基本 245,248
(演習 254
)o V1-x3 な
6
1
1
は簡単な式で表されない。 そこで, 積分の助けを借りる。
数列の和1+-+
2)(演習250
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較 して, 不等式を
すなわち,曲線yー
用してみる。
証明する。
なに対して, Rニxミk+1のとき
1
y
7章
一微分し, 増減を
ト<図
1
36
式の
20S
e+1-x
1
1
ではない
k
1
またはー
1
*_IH
ck+1 dx
(キ+1 dx
x
(*+1 dx
Ck+1 dx
1
k
0| 123…ntx
n-1 n+1
(1-x)>0
から Jみ+1
1
x
1
y=ー
k+1
-k+1 dx
1
こ増加する。
く
x
x
0
k
k+1
&+1
1
y=
x
図<ト
二単調に減少す
よって
口
のから
k+1?
式の
1
く の
ck+1 dx
(AでR=1,2,……, nと
して辺々を加える。
x
(n+1 dx
1n+1
0|123…↑ n
*n+1
4pt! de
B
n-1
るから
-sin°0
x
同
*れ+1
=log(n+1)
log(n+1)<1+
2
s0
であるから
3
n
rh+1 dx
n-1
1
n-1ck+1
©から
A©でk=1, 2, …, n-1
として辺々を加える。
HI
k=1k+1
x
k=1Jk
x
『-- ogx|-lognであるから ++
: dx
1
<logn
-a
2
3
n
この不等式の両辺に1を加えて
1+
2
1
1
<logn+1
n
<1
3
よって,0, ② から, n>2のとき
1
1
log(n+1)<1+
2
3
<logn+1
n
TAS
次の不等式を証明せよ。ただし, nは自然数とする。1t
291
(p0 :0).0 20S
4ール
1)
(2) お茶の水大)
1
22
不の0 ()
1
く2-
(n22)
3°
n?
n
208
0 5OS
1
V2
2./m-1
V3
Cp.414 EX207
ya
P
定積分と和の極限、不等式
