sin x /x→1の証明について 円を用いた面積比較からのはさみうちを使って証明する方法（一枚目）が有名ですが、微分係数の定義に当てはめる（二枚目）のはダメなんでしょうか？ sin xのグラフの原点の傾きという意味なのですごく単純です

[証明] とし,∠ABC = 0 とする.この B 3 のグラ CD lim- 8-082 表しています。 とを を求めよ. かり記憶しておきましょう。 この大小関係は、よく利用されるものなのでしっ y=sin.x 12 0 三角関数に関する極限のうち、最も重要であるのは次の極限です . この定理を用いて, lim sin.x lim 110 I sin.x 1-0 I =1であることを示しましょう. [証明 ] x→0 とするから, 0<|x|<1としてよい。 この公式を証明するための準備として、次の定理の成立を示しておきましょう。 0<x< 10 において, sin.z<x<tanzi sinr<r<tanr の各辺を sin.x(0) で割って, 1<x 1 sinx COS.X ∴. 1> sinx > COS I I 図のように, 半径1の単位円周上に∠AOB=x (x は弧度法の角) となるように2点A, B をとる. lim cos.x=1であるから, はさみうちの原理により +0 このとき面積について, 点Aにおける円の接線と半直線 OB との交点をT とする. B. sinx lim =1 ......① 次に, 2 IC x+0 t< <<0のとき、x=-t とおくと << であるから,①より、 sinx sin(-t) sint IC lim lim- lim- =1 0115 x t+0 -t t+0 t △OAB <扇形 OAB < △OAT が成り立つ. それぞれの面積をx を用いて表すと ①.②より. 1 2 sinr<<tanr 1 2 0-(-x+x) mil lim sinx TC x0 =1 なる.したがって, 0<x<2/27において、 no inil が成り立つ. sinr<r<tang 薫り立つ. (証明終わり) この極限公式は,xが十分に小さい (0に近い)とき, sinx≒x であることを表しています.

(1)でなぜ10の6乗×Nとなるのですか？ 第4項以上は必ず10の6乗以上ということを表しているのですか？

見して証 通り 3次式の展開と因数分解、二項定理 重要 例題 6 n桁の数の決定と二項定理 (イ) 99100 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。 (ア) 101100 (2)2951900で割ったときの余りを求めよ。 指針 〔類 お茶の水大 ] 基本1 (1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また,それ を要求されてもいない。 そこで,次のように 二項定理を利用すると,必要とされ る下位5桁を求めることができる。 (2) (ア) 101100=(1+100)1= (1+102 ) 100 これを二項定理により展開し,各項に含ま れる 10" (nは自然数) に着目して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 99100=(-1+100)'=(-1+102) 100 として,(1)と同様に考える。 (割られる数)=(割る数)×(商)+(余り) であるから,2951を900で割ったと きの商をM, 余りを とすると, 等式 2951=900M+r (M は整数, 0≦x<900)が成 り立つ。2951=(30-1)51であるから,二項定理を利用して (30-1) を 900M+r の形に変形すればよい。 (1) (ア) 1011=(1+100)=(1+102) 100 =1+100C1×102+100 C2 ×10 +10°×N =1+10000+495×105+10°×N 0 (Nは自然数)+0.5 ==* この計算結果の下位5桁は,第3項 第4項を除いて も変わらない。 よって, 下位5桁は 10001 21 展開式の第4項以下をま とめて表した。 10"×N(N, nは自然数, n≧5) の項は下位5桁の 計算では影響がない。 1 章 り 解答

位置関係の問題です。途中までは分かるのですが、何故三角形AESと三角形MDSが共に二等辺三角形だとわかるのでしょうか…？教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

15 04 位置関係 ② 方角を考慮して図を描く! 頻出度 ★★★☆☆ 重要度★★★☆☆ コスパ★★★☆☆ 方角を考慮した位置関係の問題で、 ほとんどの場合、 上を北とするなど方角を 決めて図を描きます。このタイプの問題は、距離(長さ)の条件から図形を考 えるものが多く、三平方の定理や相似から求めるなど、 数的推理の要素が大き いです。 T_PLAY1 方角と距離の条件から図を描く問題 XX 2X 3X 警視庁Ⅰ類 2011 A~Fの家と駅の位置関係について、次のア~オのことが分かっている。 Aの家の8km 真南にBの家があり、AとBの家を結ぶ線分上に駅がある。 Cの家はBの家の真東にある。 ウ Dの家はCの家の1km 真北にあり、Dの家から北西に進むと駅を通り Eの家に着く。 .Eの家はAの家の2km 真西にある。 .Fの家は駅の真東、かつ、Dの家の北東にある。 以上から判断して、確実にいえるのはどれか。 1.Aの家から駅までの距離は2.5kmである。 2.Bの家から駅までの距離は5km である。 3.Cの家から駅までの距離は√74kmである。 4.Dの家から駅までの距離は4√2kmである。 5.Fの家から駅までの距離は10kmである。 上を北方向として図を描こう! まずは、誰かの家を基準として、そこ につなげるんだ。距離が示されている条件ア, ウエに着目してみて! 方角の条件がありますので、上を北として地図を描くように位置関係を図に します。 方角と距離がともに示されている条件ア,ウエに着目すると、アとエには Aの家が共通していますので、これらを組み合わせて図1のようになります。 位置関係 ②

数Ⅱの問題で、（3）の問題で0°≦t≦90°のときは−1≦X≦0、1≦Y≦2になって、30°≦t≦120°のときは0≦X≦1/2、1/2≦Y≦√3/2+1になるんですか？また、この1はどこから来たのですか？どなたか教えてくださいませんか？🙇

をつけましょ ポイント 習問題 45 軌跡を求めるときは, 媒介変数の消去が だが,x,yに範囲がつく可能性を忘れて tが実数値をとって変化するとき、次の関係式 P(x, y) の軌跡を求め, 図示せよ。 Jx=-t+2 Q (1) y=2t+1 △ (2) x=1-\t\ y=t2-1 x=1-sint △(3) (30°t≦120°) y=1+cost

二次関数の場合わけで（3）がよくわかりません。 （i）のとき、なぜ最大値がx=1/2のときにならないのか理由を教えて下さい。 （ii）のときの最大値の求めかたもわかりません。 数学が苦手なので、よろしくお願いします！

医療福祉大―医療福祉・薬・成田・小田原・福岡 の1~118 次の文章中の 2019年度 数学 153 19に適する数字を,下の選択肢①D~のうちからそれぞれ一つ ただし、重複して使用してもよい。 の関数y=|x2-1+xについて考える。 解答番号 1~ 19 におけるyの最大値は 1 であり、最小値は 2 である。 3 おけるyの最大値は であり、最小値は 5 である。 4 (3) a0 とする。 -a≦x≦a におけるyの最大値をM, 最小値をmとする。 6 0<a≤ 7 であるとき,M=-a2+a+8 である。 9 + |10|11 13 am であるとき,M= である。 12 14 9 + 1011 12 <αであるとき,M = a² + α- 15 である。 m=1であるようなαの値の範囲は,a ≧ 16 である。 m=であるようなαの値を求めると,a= 2 [1~19の選択肢 01 66 22 27 4 ③3 3 (88 + 18 である。 19 ⑤5 5 ⑩00

なぜ下線の英文がこの訳になるのか分かりません

1 社会 Society 2-7 Remembering a President- 1 John Fitzgerald Kennedy, on the other hand, will remain a luminous figure in the minds of those who were alive when he was president. This is in spite of recent biographies that have cast Kennedy in a more critical light, claiming that his term in office was not as brilliant as 5 previously thought, and that his achievements, when fully scrutinized, fall short of public perceptions. Like others who died before their time, Kennedy has already passed out of the confines of historical analysis and into the realm of myth. He will forever be remembered as the youthful and vibrant president who inspired a nation and the world. (Original, 822 words) 54

中学理科　地層 ②の（5）の答えが右の写真になります。左が問題です。なぜ地点cは地点Bより標高が高いのに、地点Bより層が深くならないんですか？

2 次の観察について,あとの問いに 図1 答えなさい。 〈大分改〉 A 【観察1】 図1中のがけ Xの露頭 を次の①~⑤について調べた。 ① 露頭全体を観察し, 地層の重 なり, かたむきを観察した。 ②それぞれの層の厚さ, 色, 粒 の並び方や大きさを観察した。 ③ 化石があるか調べた。 ④ 火山灰や軽石の層があるか調 べた。 ⑤ 地層の重なり方を, 地点Pか ら真北を向いてスケッチした。 図1は、この地域の地形を等高 線で表した図であり, 地点 B, C は地点Pの真西に, 地点 A, D は地点 B, C のそれぞれ真北に位 置している。図2は, ⑤のスケッ チの一部である。 図2 3 地層 27 0 一砂の層 砂の層 アサリの ・D X 5m 白っぽい -140m 130m 火山灰の層 -120m -110m -100m -90m 化石 図3 90 100 120 GOA 100B 120 C 図4 10813011830 0 90 ① -19 4 90-14:0 ア 16 768 92 12 表 16 20 24 〔m〕 28 火山灰の層 れきの層 泥の層 32 36 40 表 16 地表からの深さ m 0482121202898 |砂の層 ら 20 =白っぽい 36 40 火山灰の層 黒っぽい 地表からの深さ m 【観察2】 がけ Xで採取した砂の層と白っぽい火山灰の層にふくまれる岩石を持ち帰り,双眼実 体顕微鏡で表面を観察したところ, 岩石がふくんでいる粒に違いがあった。 【観察3】 図1の地点 A~Cのボーリング試料をインターネットで調べ, 図3の柱状図に表した。 この地域では白っぽい火山灰の層と, 黒っぽい火山灰の層は1つしかなく, 上下の逆転や断層は なかった。 また,各層は平行に重なり, ある一定の方向にかたむいていることがわかった。 (1) 観察2の下線部で, 砂の層の岩石は, 火山灰の層の岩石に比べて, ふくんでいる粒にどのよう な特徴があるか。 簡潔に書きなさい。 (2) 次の文は,図2の砂の層にアサリの化石が見つかったことについてまとめたものである。 文中 のaにあてはまる語句として適切なものを, ア, イから1つ選び, 記号で書きなさい。 また, b a[] b[ にあてはまる語句を書きなさい。 イ 深い海)でできたと考え 482 12 16 201 地表からの深さ m 24 28 32 黒っぽい火山灰の層より下の地層では,新しい層ほど, [ Al 36 (4) 図3で,ア~ウの砂の層を堆積した時代が古いものから順に並べなさい。 [ ] (5) 図1の地点Dでボーリング調査を行うと, 図3の白っぽい火山灰の層と, 黒っぽい火山灰の層 は地表からの深さが40m までのどこにあるか。 図4の柱状図に, 白っぽい火山灰の層をで、 で示して表しなさい。 ただし, それ以外の層は記入しないこと。 黒っぽい火山灰の層を 40 アサリの化石が見つかったことから,この層はa (ア浅い海 られる。この化石のように地層ができた当時の環境を知る手がかりとなる化石を(b)という。 (3) 図3の地層の重なり方から,この地域は黒っぽい火山灰の層が堆積するまでに, 河口からの距 離がどのように変化したと考えられるか。 「黒っぽい火山灰の層より下の地層では, 新しい層ほど,」 という書き出しに続けて, 理由とともに簡潔に書きなさい。

（1）で長さの比＝高さの比になる理由がわからないです。教えて頂きたいです。

総合 四面体 ABCD と四面体 ABCPの体積をそれぞれV, Vp とする。 (1) 8 (ア) AP=IADが成り立つとき、体積比を求めよ。 VP A=b+cAC+dADが成り立つとき、体積比 1/7 を求めよ。 ●(2) 四面体 ABCD について, 点 A, B, C, D の対面の面積をそれぞれα, β, Y, δとする。原 OA+BOB+yOC +8OD 点を0としてOf= となる点を考える。 四面体 ABCD の体積 a+β+y+8 をVとするとき, 3点 A, B, Cを通る平面と点Iの距離を求めよ。 ●(3) (2) の点Iは四面体 ABCD に内接する球の中心であることを示せ。 (1) (ア) AP=tADのとき よって AP=|t|AD =|t| VP AP t|AD V = = AD AD (イ) QをAQ=dAD を満たす点とすると 直す すなわQP=bAB+cAC [早稲田大 ] +本冊数学C 例題 61 6+y+8 10 00 - AP-AQ=bAB+cAC++8 +8+ る ゆえに, 直線 PQ は平面 ABCと平行である。 よって, VP は四面体 ABCQの体積に等しい。 VP (011)A (0 これと(ア)から =|d| 1つの V 1 (1) V, VP について,底 面を △ABCとしたとき の高さについて考える。 (イ) 四 A Q 1- B 合

位置関係の問題です。途中までは分かるのですが、何故三角形AESと三角形MDSが共に二等辺三角形だと判断できるのかが分かりません。これはどこからそう考えてるのでしょうか…？どなたか教えて頂けますでしょうか🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

が確 かり、 ます。 13 04 位置関係 ② 方角を考慮して図を描く! 頻出度 ★★★☆☆ 重要度★★★☆☆ コスパ★★★☆☆ 方角を考慮した位置関係の問題で、 ほとんどの場合、 上を北とするなど方角を 決めて図を描きます。 このタイプの問題は、距離 (長さ) の条件から図形を考 えるものが多く、 三平方の定理や相似から求めるなど、 数的推理の要素が大き いです。 PLAY1 方角と距離の条件から図を描く問題 警視庁Ⅰ類 2011 A~Fの家と駅の位置関係について、次のア~オのことが分かっている。 ア.Aの家の8km 真南にBの家があり、AとBの家を結ぶ線分上に駅がある。 イ.Cの家はBの家の真東にある。 ウ.Dの家はCの家の1km 真北にあり、Dの家から北西に進むと駅を通り Eの家に着く。 エ.Eの家はAの家の2km 真西にある。 .Fの家は駅の真東、かつ、Dの家の北東にある。 以上から判断して、確実にいえるのはどれか。 1.Aの家から駅までの距離は2.5kmである。 2.Bの家から駅までの距離は5km である。 3.Cの家から駅までの距離は74kmである。 4.Dの家から駅までの距離は4√2km である。 5.Fの家から駅までの距離は10kmである。 F 上を北方向として図を描こう! まずは、誰かの家を基準として、そこ につなげるんだ。距離が示されている条件ア, ウエに着目してみて! 方角の条件がありますので、上を北として地図を描くように位置関係を図に します。 方角と距離がともに示されている条件ア, ウ, エに着目すると、 アとエには Aの家が共通していますので、これらを組み合わせて図1のようになります。

しかくをうめるところの、1行目のホンワカしてるマークの式で－{2×(－1)＋3}は、どうゆう事で、どこの式をみて埋めるんですか？よく分かりません、公式があるんでしょうか 至急お願いします🙏

O y 1 き a 1301176 XC y xC O 変化の割合を求める 子と分母を逆にしな 1次関数の変化の割合 次の空欄をうめよう! 次関数y=2x+3において、xの値が1から5まで増加するとき, xの増加量=5(-1) = 6 yの増加量=2×5 +3 -{2× (y+ オ +3} カ キ ク = 13 = 13 12 xの増 なり、yの増加量 xの増加量 = ケ 2 0 xの増加量に対するyの増加量の割合を、変化の割合といい, 1次 コ ■をとる。 1次関数y=ax+bの変化の割合は aで、グラフの