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重要 例題 141 四面体上の折れ線の最小値
11
四面体 ABCD があり, AB=BC=CA=8, AD=7 である。
COS ∠CAD= のとき、次のものを求めよ。
14
(1) 辺 CD の長さ
000
(2) ∠ACD の大きさ
基本 121,137
(3) 辺 AC上の点Eに対して, BE+ED の最小値
CHART & THINKING
(1) (2) 辺 CD, ∠ACD
空間の問題 平面図形 (三角形) を取り出す
を含むのは ACD
(1), (2) 求めるものを含む三角形はどれかを
見極めよう。
A
(3) 空間のままでは考えにくい。 △ABCと
△ACDを1つの平面上に広げ, 平面図形と
して考えよう。
E
⇒ B<
D
PE
B
(3) 辺 AC の
D
C
まわりに広げる C
解答
(1) ACD において, 余弦定理により
CD2=7+82-2・7・8cos∠CAD=25
CD> 0 であるから
CD=5
(2) ACD に余弦定理を適用して
A
(
COS∠CAD= 11
8.
8
S)xS
D
B
82+52-72
COS ∠ACD=
8
2.8.5
2
C
よって
∠ACD=60°
14
E
A
1
(3) 右の図のように,平面上の四角
← 四面体 ABCD の側面
8
形ABCD について考える。
7
3点B, E, D が1つの直線上に
あるとき, BE+ED は最小になる。
よって, BCD において, 余弦
定理により
B
△ABC, △ACD を平面
上に広げる。
1
E
D
8
60°60°
最短経路は展開図で 2
120°-
50
点を結ぶ線分になる。
C
BD2=82+52-2・8・5cos <BCD=129
BD> 0 であるから BD=√129
<+2BCD
= ∠ACB + ∠ACD=120°
したがって, 求める最小値は
√129
1
cos 120°---
2
NFORMATION
折れ線の長さの最小値
3)BE+ED は折れ線の長さと考えられる。この長さは, 折れ線がまっすぐに伸び
して線分になるとき最小となる。 2点間の距離の最小値は, 2点を結ぶ線分の長さ
ACTICE 141
■の長さがαの正四面体 OABCにおいて,辺AB, BC, OC
それぞれ点P,Q,Rをとる。 頂点から,P,Q,R の順
点を通り、頂点Aに至る最短経路の長さを求めよ。うら
0
A
P
Q
1
R
11
