思考プロセス
次のことを証明せよ。
(1) A={6n+1|nは整数},B={3n+1|nは整数} のとき, ACB
(2) A={3m+2nm, nは整数},B={5m+7mm, nは整数} のとき
A=B
(1) 集合 A,Bを, 要素を書き並べて表すと
A = {'', -11,
- 5, 1,7, 13,...)
B={', -11, -8, -5, 2,1, 4,7,10,13, ...}
| 結論の言い換え
ACB
6x (整数)+1の
3× (整数)+1の
形で表される数
形で表される数
Action » ACB の証明は, 集合Aのすべての要素が集合 B の要素でもあることを示せ
よって
Aのすべての要素が, B の要素でもある
(1)
Aとすると, α=6n+1 (nは整数)と表すこと
ができる。 このとき, a6n+ Ⅰ = 3・2n + 1 であり, n
が整数のとき2nも整数であるから
a E B
ACB
A とすると, a =3m+2n (m,nは整数)と
表すことができる。 このとき
_35・2+7(-1), 2=5.(-1)+7・1
(2) [1]
ACB となりそうだが すべての要素
(..の部分)は確認できない
文字を利用して考える
より
a =3m+2n={5・2+7・(-1)}m+{5・(-1)+7・1}n
より
=5(2m-n)+7 (-m+n)
である。 mnが整数のとき 2m-n-m+nも整
数であるから
a B
よって ACB
[2] b ∈ B とすると, b=5m+7m (m,nは整数)と
表すことができる。 このとき
5=3.1 +21, 7 = 3.1 + 2.2
15-a € B
である。 m,
であるから
b=5m+7n=(3·1+2.1)+(3.1 +22)n
= 3(m + n) + 2(m +2n)
nが整数のとき, m+n, m+2nも整数
be A
よって BCA
36 [1], [2] より A=B
a=3x (整数)+1 となり,
問題を分ける
A = B は [1] ACB と
[2] BCAを示す。
=5x(整数) +7x(整数)
の形にするため, 係数の
3と2をこの形に変形す
る。
b=3 × (整数) + 2x ( 整数)
の形にするため, 係数の
57 この形に変形す
4
