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の
201
重要
例題
126 領域と分数式の最大・最小
00000
x,yが2つの不等式x-2y+1≦0, x²-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
最大値と最小値,およびそのときの x, yの値を求めよ。
指針
連立不等式の表す領域 A を図示し,y-2
y-2
x+1
の
基本122
x+1 -=kとおいたグラフが領域 Aと共有点をも
つようなkの値の範囲を調べる。この分母を払ったy-2=k(x+1)は,点(-1, 2)
を通り,傾きがんの直線を表すから、傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
CHART 分数式
y-b
の最大最小
y-b
x-a
=kとおき, 直線として扱う
x-a
x-2y+1=0
解答
とする。 連立方程式①、②を解くと
①, x2-6x+2y+3= 0
(x, y)=(1, 1), (4, 5)
ゆえに、連立不等式x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0の表
す領域Aは図の斜線部分である。 ただし,境界線を含む。
y-2=k(x+1)
③
y-2
=kとおくと
x+1
BECO
すなわち
y=kx+k+2
[最大]
R
y
③
P
1F
3-2
3章
1 不等式の表す領域
③は,点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から, 直線 ③ が放物線 ② に第1象限で接するとき,k
この値は最大となる。
② ③からy を消去して整理すると
k(x+1)-(y-2) =0 は,
x=-1, y=2のとき
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点 (1,2)を通る。
い方法、
x2+2(k-3)x+2k+7=0
二線に
このxの2次方程式の判別式をDとすると
一程式は
D
0
=(k-3)2-1(2k+7)=k-8k+2
立してす
RAL
第1象限で接するときのkの値は
このとき、接点の座標は
直線 ③ が放物線 ②に接するための条件はD=0であるか
ら, k2-8k+2=0 より
k=4±√14
k=4-√14 0
求めら
小となる。このとき
(√14 -1, 4√14-12)第3象限で接する接線と
次に,図から、直線 ③ が点 (1,1) を通るとき,kの値は最
k=4+√14 のときは,
なる。
1-2
1
k=
1+1
2
k=y- 2
x+1
-473 に代入。
よって
x=√14-1, y=4√14-12 のとき最大値 4-√14;
x=1, y=1のとき最小値-
2
y-5
の最大値
