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基本 89 2変数関数
(1) 2x+y=3のとき, 2x+y2 の最小値・
(2) x0,y≧0, 2x+y=8のとき, xy
(2)の2x+y=8のような問題の前提となる式を。
=h* 2x² + y²
条件式がある問題では、文字を消去する方針で進めるとよい。
解答
指針 (1) 2x+y=3,
の最大値と最小値を求め
y=-2x+3
(1) 条件式2x+y=3から
(2) 条件式からy=-2x+8として」 を消去する。 ただし、次の点
→基本形α(xp)+αに直す方針で解決!
2x + (-2x+3) となり,yが消えて1変数xの2次式になる。"
消去する文字の条件 (y≧0) , 残る文字(x)
CHART 条件式文字を減らす方針で変域に注意
(1) 2x+y=3 から
y=-2x+3
2x2+y2に代入して,yを消去すると
2x2+y2=2x2+(-2x+3) 2
=6(x-1)'+3
よって, x=1で最小値3をとる。
このとき, ①から
したがって
(2) 2x+y=8 から
y≧0であるから
との共通範囲は
また
よって
=6x²-12x+9
6(x2-2x)+9
=6(x2-2x+12)-6・12+9
y=-2・1+3=1
x=1, y=1のとき最小値3
y=-2x+8
-2x+8≧0
0≤x≤4
ゆえに
②
の条件に
x≤4
xy=x(-2x+8)=-2x2+8x
=-2(x2-4x)
=-2(x2-4x+22)+2・22
=-2(x-2)^+8
②の範囲において,xyはx=2で最大値8をとり,
x=0, 4で最小値0 をとる。
① から x=2のときy=4,x=0のとき y=8,
x=4のときy=0
(x,y)=(2,4) のとき最大値 8
(x,y)=(0,8), (40) のとき最小値 0
90 2変数関数の最大
要 例
x,yの関数P=x²+3y^+4x-
x y の関数Q=x²-2xy+2y².
(1,2), 最小値をとる
針
(1) 特に条件が示されていな
このようなときは,次のよ
① x,yのうちの一方の
の2次式とみる。 そして
[2] 残ったq(yの2次式
3 P=ax2+by+s
→Pは X=Y=0の
(2) xyの項があるが、 た
形。
CHART
4t=66x
4(x, y)=
(1) P=x2+4x+3y²-
=(x+2)²-22+
=(x+2)^+3(
=(x+2)+3(
x, y は実数である
(x+2
よって, Pはx-
ゆえに
xy=tとおい
t=-2x-1
のグラフ
th
86
最小
0
条件式の
x=
(2) Q=x2-2xy
=x2-2(y
={x-(y
=(x-y-
=(x-y
③ 89 (2) x0,y0, x+2y=1のとき, x2+y2 の最大値と最小値を求めよ。
習 (1) 3x-y=2のとき, 2x2-2 の最大値を求めよ。
=(x-y
x, y は実数
よって,
る。 x-y
ゆえに
習 (1) x,
70 (2) X,
なお、
