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基本
XOOO
例題30 線分の垂直に関する証明
AABCの重心を G, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。
(1) OA+OB+OC=OH である点Hをとると、 Hは△ABCの垂心である。
(2)(1)の点Hに対して, 3点 0. G. Hは一直線上にあり GH=20G
基本 23
基本 68
[類山梨大)
指針>(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
ある。
AH+0, BC+0, BH+0, CA+0のとき
AHIBC, BH」TA → AH-BC=0, BH·CA=0
であるから,内積を利用 して. A[(内積)=0] を計算により示す。
0はAABC の外心であるから,|DA|=|OB|=|0C| も利用。
A
CHART 線分の垂直 (内積)=0 を利用
振分OA
開の
THAHO
解答
直角三角形のときは
2C=90° とする。 )
このとき,外心は辺 AB上
にある(辺 AB の中点)。
A
(1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。
このとき,外心0は辺BC, CA上
の
にはない。
OH=OA+OB+OC から
AH=OH-OA=OB+OC
ゆえに AH-BC
=(OB+OC)-(OC-OB)
=|OCP-1OBP=0
の
00 030OR+O
B
C
Cに
BC=OC-OB (分割)
0-5 AABCの外心0
同様にして
OA=OB=0C (数学 A)
BH-CA=(OA+oC). (OA-OC)
=OAP-1OCP=0
AH=OB+OC+ó, BH=OA+OC+0
DA(検討)A
また,①から
よって, AH+0, BC+6, BH+0, CA+0であるから
AHIBC, BHICA すなわち AHIBC, BHICA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
OA+OB+OC
外心,重心,垂心を通る直線
(この例題の直線 OGH) を
オイラー線 という。
ただし,正三角形は除く。
(2) OG=
LOH から OH=30G
3
三
3
(1) から
OA+OB+OC=OH
ゆえに GH=OH-OG=20G
よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり
の
GH=20G
練習
右の図のように
AADO
